Страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.34. Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число $\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ является его корнем.

Для того чтобы найти многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число $\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$, обозначим это число через $x$:

$x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$

Наша цель — получить уравнение, связывающее $x$ с целыми числами, без радикалов. Для этого возведем обе части равенства в третью степень. Удобнее всего это сделать, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{9}$.

$x^3 = (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})^3$

Применим формулу:

$x^3 = (\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{9})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})$

Теперь упростим каждый член выражения:

$a^3 = (\sqrt[3]{3})^3 = 3$

$b^3 = (\sqrt[3]{9})^3 = 9$

Произведение $3ab = 3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = 3 \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 9} = 3 \cdot \sqrt[3]{27} = 3 \cdot 3 = 9$.

Сумма в скобках $(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})$ — это наше исходное число $x$.

Подставим вычисленные значения обратно в уравнение для $x^3$:

$x^3 = 3 + 9 + 9 \cdot x$

$x^3 = 12 + 9x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить многочлен, равный нулю:

$x^3 - 9x - 12 = 0$

Таким образом, мы получили многочлен $P(y) = y^3 - 9y - 12$, у которого все коэффициенты (1, 0, -9, -12) являются целыми числами, и число $\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ является его корнем.

Ответ: $y^3 - 9y - 12$.

12.35. Докажите, что число $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является иррациональным.

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что число $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде дроби $x = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ – целые числа, и $q \neq 0$.

Возведем обе части равенства $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$x^3 = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

$x^3 = 2 + 5 + 3 \sqrt[3]{10} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

Заметим, что выражение в скобках равно нашему исходному числу $x$. Заменим $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$ на $x$:

$x^3 = 7 + 3x \sqrt[3]{10}$

Теперь выразим из этого уравнения $\sqrt[3]{10}$. Так как $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} > 0$, то $x \neq 0$.

$x^3 - 7 = 3x \sqrt[3]{10}$

$\sqrt[3]{10} = \frac{x^3 - 7}{3x}$

Проанализируем полученное равенство.

В левой части стоит число $\sqrt[3]{10}$. Это число иррационально, так как 10 не является точным кубом целого числа.

В правой части стоит выражение $\frac{x^3 - 7}{3x}$. Согласно нашему первоначальному предположению, $x$ – рациональное число. Результат сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, если $x$ рационально, то и $x^3$, $x^3 - 7$, $3x$ и вся дробь $\frac{x^3 - 7}{3x}$ также являются рациональными числами.

Таким образом, мы пришли к противоречию: иррациональное число ($\sqrt[3]{10}$) равно рациональному числу ($\frac{x^3 - 7}{3x}$), что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что число $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является рациональным, неверно. Значит, это число иррациональное.

Ответ: Утверждение доказано.

12.36. Докажите равенство

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}} = \sqrt[1024]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$

10 радикалов

Для доказательства равенства преобразуем его правую часть. Обозначим правую часть равенства через $X$.

$X = \sqrt[1024]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$

Введем последовательность $x_n$, определенную следующим образом:

$x_n = \sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}$ для $n \ge 1$.

Поскольку $1024 = 2^{10}$, правая часть исходного равенства $X$ соответствует члену последовательности $x_{10}$.

Найдем связь между членами последовательности. Возведем $x_n$ в квадрат:

$x_n^2 = \left(\sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}\right)^2$

$x_n^2 = \left(\sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}} + \left(\sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}\right)^2$

Упростим каждое слагаемое:

$\left(\sqrt[2^n]{2+\sqrt{3}}\right)^2 = (2+\sqrt{3})^{\frac{2}{2^n}} = (2+\sqrt{3})^{\frac{1}{2^{n-1}}} = \sqrt[2^{n-1}]{2+\sqrt{3}}$

$\left(\sqrt[2^n]{2-\sqrt{3}}\right)^2 = \sqrt[2^{n-1}]{2-\sqrt{3}}$

$2 \cdot \sqrt[2^n]{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 2 \cdot \sqrt[2^n]{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 2 \cdot \sqrt[2^n]{4-3} = 2 \cdot \sqrt[2^n]{1} = 2$

Подставим упрощенные выражения обратно в формулу для $x_n^2$:

$x_n^2 = \sqrt[2^{n-1}]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^{n-1}]{2-\sqrt{3}} + 2$

Заметим, что $\sqrt[2^{n-1}]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^{n-1}]{2-\sqrt{3}}$ есть не что иное, как $x_{n-1}$.

Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение: $x_n^2 = x_{n-1} + 2$.

Поскольку все члены последовательности $x_n$ являются положительными (как сумма положительных корней), можно записать:

$x_n = \sqrt{2+x_{n-1}}$

Теперь найдем значение первого члена последовательности, $x_1$:

$x_1 = \sqrt[2^1]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[2^1]{2-\sqrt{3}} = \sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Возведем $x_1$ в квадрат, чтобы найти его значение:

$x_1^2 = (\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}})^2 = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

$x_1^2 = 4 + 2\sqrt{4-3} = 4 + 2\sqrt{1} = 4+2=6$

Так как $x_1 > 0$, то $x_1 = \sqrt{6}$.

Теперь, используя рекуррентное соотношение $x_n = \sqrt{2+x_{n-1}}$, мы можем последовательно выразить $x_{10}$:

$x_2 = \sqrt{2+x_1} = \sqrt{2+\sqrt{6}}$

$x_3 = \sqrt{2+x_2} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$

$x_4 = \sqrt{2+x_3} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}$

Продолжая этот процесс, мы видим, что выражение для $x_n$ представляет собой вложенные квадратные корни, где общее число знаков корня (радикалов) равно $n$, и под самым внутренним корнем находится число 6.

Следовательно, для $n=10$ мы получаем:

$x_{10} = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}}_\text{10 радикалов}$

Это выражение в точности совпадает с левой частью доказываемого равенства.

Таким образом, мы показали, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же числу $x_{10}$, что и доказывает их тождество.

Ответ: Равенство доказано.