Страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.1. Найдите значение выражения:

1) $4^{\frac{1}{2}}$; 2) $0,216^{-\frac{1}{3}}$; 3) $27^{\frac{4}{3}}$; 4) $32^{-0,2}$.

1) $4^{\frac{1}{2}}$

Для вычисления данного выражения воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $a=4$, $m=1$, $n=2$.

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4^1} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

2) $0,216^{-\frac{1}{3}}$

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,216 = \frac{216}{1000}$.

Далее воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$0,216^{-\frac{1}{3}} = (\frac{216}{1000})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1000}{216})^{\frac{1}{3}}$.

Теперь применим определение степени с рациональным показателем и свойство корня из дроби:

$(\frac{1000}{216})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1000}{216}} = \frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{216}}$.

Так как $10^3 = 1000$ и $6^3 = 216$, то $\sqrt[3]{1000} = 10$ и $\sqrt[3]{216} = 6$.

Получаем: $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$

3) $27^{\frac{4}{3}}$

Представим основание 27 в виде степени числа 3: $27 = 3^3$.

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$27^{\frac{4}{3}} = (3^3)^{\frac{4}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 3^4$.

Вычислим значение $3^4$:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Ответ: 81

4) $32^{-0,2}$

Сначала преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Выражение принимает вид $32^{-\frac{1}{5}}$.

Представим основание 32 в виде степени числа 2: $32 = 2^5$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$32^{-\frac{1}{5}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{1}{5})} = 2^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ получаем:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

13.2. Чему равно значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}}$; 2) $10000^{\frac{1}{4}}$; 3) $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}$; 4) $0,125^{-\frac{2}{3}}$?

1) Чтобы найти значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $a=8, m=1, n=3$.

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8^1} = \sqrt[3]{8}$

Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Альтернативный способ — представить основание степени (8) в виде степени с показателем 3: $8 = 2^3$.

$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:

$2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

2) Чтобы найти значение выражения $10000^{\frac{1}{4}}$, нужно извлечь корень четвертой степени из 10000.

$10000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{10000}$

Представим число 10000 в виде степени числа 10. Поскольку в числе 10000 четыре нуля, то $10000 = 10^4$.

$10000^{\frac{1}{4}} = (10^4)^{\frac{1}{4}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$10^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 10^1 = 10$.

Ответ: 10.

3) Чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$, сначала преобразуем его, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Для дроби это свойство выглядит так: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{1})^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}$

Теперь вычислим $4^{\frac{3}{2}}$. По определению степени с рациональным показателем, это равно $(\sqrt{4})^3$.

$4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt[2]{4})^3 = 2^3 = 8$.

Также можно было представить 4 как $2^2$:

$4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8.

4) Чтобы найти значение выражения $0,125^{-\frac{2}{3}}$, первым шагом преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную.

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство отрицательной степени, чтобы избавиться от минуса в показателе:

$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{8}{1})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}$

Далее вычисляем значение $8^{\frac{2}{3}}$, извлекая кубический корень и возводя в квадрат:

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Альтернативный способ — представить 8 как $2^3$:

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4.

13.3. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{6}};$

2) $y = (x - 3)^{2.6};$

3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}.$

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$

Область определения степенной функции $y = f(x)^p$ с рациональным показателем $p = \frac{m}{n}$ (где дробь несократима) зависит от четности знаменателя $n$ и знака показателя $p$.

В данной функции $y = x^{\frac{5}{6}}$ основанием является $x$, а показатель степени $p = \frac{5}{6}$. Это положительное рациональное число, знаменатель которого $n=6$ — четное число.

Функцию можно представить в виде корня: $y = \sqrt[6]{x^5}$. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, должно выполняться условие:

$x^5 \ge 0$

Это неравенство равносильно неравенству $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $[0, +\infty)$.

2) $y = (x - 3)^{2,6}$

Сначала представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной несократимой дроби:

$2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$

Таким образом, функция имеет вид $y = (x - 3)^{\frac{13}{5}}$.

Основанием степени является выражение $(x-3)$, а показатель $p = \frac{13}{5}$ — положительное рациональное число, знаменатель которого $n=5$ — нечетное число.

Функцию можно представить как $y = \sqrt[5]{(x-3)^{13}}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $(x-3)^{13}$ определено для любого действительного числа $x$.

Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается, и область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}$

Показатель степени $p = -\frac{1}{9}$ является отрицательным рациональным числом. Отрицательная степень означает, что выражение можно записать в виде дроби:

$y = \frac{1}{(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}}}$

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Кроме того, показатель степени в знаменателе $\frac{1}{9}$ имеет нечетный знаменатель $n=9$. Это значит, что выражение $(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{x^2 - 6x - 7}$ определено для всех действительных значений подкоренного выражения $x^2 - 6x - 7$.

Единственное ограничение на область определения — это условие, что знаменатель не равен нулю:

$(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}} \neq 0$

Это равносильно тому, что основание степени не равно нулю:

$x^2 - 6x - 7 \neq 0$

Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

Таким образом, $x$ не может быть равен $7$ и $-1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме этих двух значений.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 7) \cup (7, +\infty)$.

13.4. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$;

2) $y = (x+1)^{\frac{7}{12}}$;

3) $y = (x^2-x-30)^{\frac{4}{15}}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Для степенной функции вида $y = (f(x))^r$, где $r$ — рациональное нецелое число, область определения зависит от основания $f(x)$ и знака показателя $r$:

• Если показатель $r$ положительный ($r > 0$), то основание должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.
• Если показатель $r$ отрицательный ($r < 0$), то основание должно быть строго положительным: $f(x) > 0$ (так как $y = \frac{1}{(f(x))^{-r}}$ и знаменатель не может быть равен нулю).

Применим эти правила для каждой из заданных функций.

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$

В данной функции основание степени — это $f(x) = x$. Показатель степени $r = -\frac{2}{3}$ является рациональным нецелым числом, и он отрицателен. Следовательно, для нахождения области определения необходимо, чтобы основание было строго положительным: $x > 0$. Область определения функции — это множество всех положительных действительных чисел.

Ответ: $(0; +\infty)$.

2) $y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}}$

Основание степени в этой функции — $f(x) = x + 1$. Показатель степени $r = -\frac{7}{12}$ — отрицательное рациональное нецелое число. Поэтому основание степени должно быть строго больше нуля: $f(x) > 0$. Подставляем выражение для основания и решаем неравенство: $x + 1 > 0$ $x > -1$. Область определения функции — это все действительные числа, большие -1.

Ответ: $(-1; +\infty)$.

3) $y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}$

Основание степени — $f(x) = x^2 - x - 30$. Показатель степени $r = \frac{4}{15}$ — положительное рациональное нецелое число. Следовательно, основание степени должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$. Решим квадратное неравенство: $x^2 - x - 30 \ge 0$. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 + x_2 = 1$ $x_1 \cdot x_2 = -30$ Отсюда $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$. Графиком функции $y = x^2 - x - 30$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, значения функции неотрицательны, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни). Таким образом, решение неравенства: $x \le -5$ или $x \ge 6$.

Ответ: $(-\infty; -5] \cup [6; +\infty)$.

13.5. Найдите значение выражения:

1) $(\frac{1}{49})^{-1.5}$

2) $8^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{1}{2}}$

3) $36^{0.4} \cdot 6^{1.2}$

4) $(4^{\frac{1}{8}})^{1.6} \cdot 16^{0.6}$

1) $(\frac{1}{49})^{-1,5}$

Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем основание и показатель степени.

Основание: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.

Показатель степени: $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$(\frac{1}{49})^{-1,5} = (7^{-2})^{-\frac{3}{2}}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются (свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$7^{(-2) \cdot (-\frac{3}{2})} = 7^3$

Теперь вычислим результат:

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$

Ответ: 343

2) $8^{2\frac{1}{2}} : 2^{2\frac{1}{2}}$

Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a:b)^n$.

$(8:2)^{2\frac{1}{2}} = 4^{2\frac{1}{2}}$

Представим смешанную дробь в показателе степени в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Получаем выражение $4^{\frac{5}{2}}$.

Теперь представим основание 4 как степень числа 2: $4=2^2$.

$(2^2)^{\frac{5}{2}}$

По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножим показатели:

$2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: 32

3) $36^{0,4} \cdot 6^{1,2}$

Чтобы упростить выражение, приведем степени к одному основанию. Заметим, что $36 = 6^2$.

$(6^2)^{0,4} \cdot 6^{1,2}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$6^{2 \cdot 0,4} \cdot 6^{1,2} = 6^{0,8} \cdot 6^{1,2}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$6^{0,8 + 1,2} = 6^2$

Вычислим значение:

$6^2 = 36$

Ответ: 36

4) $(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} \cdot 16^{0,6}$

Сначала упростим первый множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} = 4^{-\frac{1}{8} \cdot 1,6}$

Вычислим показатель степени, представив $1,6$ как дробь $\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$:

$-\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{1}{5}$

Теперь выражение имеет вид: $4^{-\frac{1}{5}} \cdot 16^{0,6}$.

Приведем все степени к основанию 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.

$(2^2)^{-\frac{1}{5}} \cdot (2^4)^{0,6}$

Снова применяем свойство возведения степени в степень:

$2^{2 \cdot (-\frac{1}{5})} \cdot 2^{4 \cdot 0,6} = 2^{-\frac{2}{5}} \cdot 2^{2,4}$

Переведем дробный показатель в десятичный: $-\frac{2}{5} = -0,4$.

$2^{-0,4} \cdot 2^{2,4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-0,4 + 2,4} = 2^2$

Вычислим результат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4

13.6. Чему равно значение выражения:

1) $5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6};$

2) $(7^{-0,7})^8 : 7^{-7,6};$

3) $(9^{\frac{3}{7}})^{\frac{4}{3}};$

4) $(2^{\frac{6}{7}})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5} ?$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно 5. Сложим показатели степеней:

$5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6} = 5^{3,4 + (-1,8) + (-2,6)} = 5^{3,4 - 1,8 - 2,6} = 5^{1,6 - 2,6} = 5^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) В этом примере используются два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Сначала упростим выражение в скобках:

$(7^{-0,7})^8 = 7^{-0,7 \cdot 8} = 7^{-5,6}$

Теперь выполним деление:

$7^{-5,6} : 7^{-7,6} = 7^{-5,6 - (-7,6)} = 7^{-5,6 + 7,6} = 7^2$

Вычислим результат:

$7^2 = 49$

Ответ: 49.

3) Для решения этого примера воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Сначала представим смешанное число $4\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь перемножим показатели степеней:

$(9^{\frac{3}{7}})^{4\frac{2}{3}} = (9^{\frac{3}{7}})^{\frac{14}{3}} = 9^{\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{3}} = 9^{\frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 3}} = 9^2$

Вычислим результат:

$9^2 = 81$

Ответ: 81.

4) В этом примере используется свойство умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Объединим основания под одним показателем степени:

$(2\frac{6}{7})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5} = (2\frac{6}{7} \cdot 1,4)^{2,5}$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби:

$2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

Теперь перемножим основания:

$\frac{20}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{20 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{20}{5} = 4$

Выражение принимает вид $4^{2,5}$. Представим десятичный показатель $2,5$ в виде дроби $\frac{5}{2}$:

$4^{2,5} = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: 32.

13.7. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте $a$ в виде:

1) куба;

2) шестой степени;

3) восьмой степени.

1) Чтобы представить положительное число $a$ в виде куба, необходимо найти такое выражение, которое при возведении в третью степень будет равно $a$. Поскольку $a$ — положительное число, для него определена любая степень с рациональным показателем. Мы можем представить $a$ как $a^1$. Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, запишем показатель 1 в виде произведения $3 \cdot \frac{1}{3}$. Таким образом, мы получаем: $a = a^1 = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^3$. Это и есть представление числа $a$ в виде куба.
Ответ: $(a^{\frac{1}{3}})^3$.

2) Аналогично, чтобы представить $a$ в виде шестой степени, представим показатель 1 как произведение $6 \cdot \frac{1}{6}$. Тогда: $a = a^1 = a^{6 \cdot \frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^6$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{6}})^6$.

3) Для представления $a$ в виде восьмой степени, представим показатель 1 как произведение $8 \cdot \frac{1}{8}$. Тогда: $a = a^1 = a^{8 \cdot \frac{1}{8}} = (a^{\frac{1}{8}})^8$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{8}})^8$.

13.8. Известно, что $b$ — положительное число. Представьте в виде куба выражение:

1) $b^{\frac{1}{2}}$;

2) $b^{\frac{1}{3}}$;

3) $b^{-1,8}$;

4) $b^{\frac{7}{11}}$.

Чтобы представить выражение в виде куба, необходимо найти такое основание, которое при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого воспользуемся свойством степени: $(a^m)^n = a^{mn}$. Мы ищем такое число $x$, что $(b^x)^3 = b^k$, где $b^k$ — исходное выражение. Отсюда следует, что $3x = k$, или $x = \frac{k}{3}$.

Представим выражение $b^{\frac{1}{2}}$ в виде куба.

Пусть $b^{\frac{1}{2}} = (b^x)^3$. Тогда, согласно свойству степеней, $b^{\frac{1}{2}} = b^{3x}$.

Приравнивая показатели, получаем уравнение:

$3x = \frac{1}{2}$

Решая уравнение, находим $x$:

$x = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{6}$

Следовательно, $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{6}})^3$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{6}})^3$.

Представим выражение $b^{\frac{1}{3}}$ в виде куба.

Пусть $b^{\frac{1}{3}} = (b^x)^3$. Тогда $b^{\frac{1}{3}} = b^{3x}$.

Приравниваем показатели степеней:

$3x = \frac{1}{3}$

Находим $x$:

$x = \frac{1}{3} \div 3 = \frac{1}{9}$

Таким образом, $b^{\frac{1}{3}} = (b^{\frac{1}{9}})^3$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{9}})^3$.

Представим выражение $b^{-1,8}$ в виде куба.

Пусть $b^{-1,8} = (b^x)^3$. Тогда $b^{-1,8} = b^{3x}$.

Приравниваем показатели:

$3x = -1,8$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = \frac{-1,8}{3} = -0,6$

Следовательно, $b^{-1,8} = (b^{-0,6})^3$.

Ответ: $(b^{-0,6})^3$.

Представим выражение $b^{\frac{7}{11}}$ в виде куба.

Пусть $b^{\frac{7}{11}} = (b^x)^3$. Тогда $b^{\frac{7}{11}} = b^{3x}$.

Приравниваем показатели степеней:

$3x = \frac{7}{11}$

Находим $x$:

$x = \frac{7}{11} \div 3 = \frac{7}{11 \cdot 3} = \frac{7}{33}$

Таким образом, $b^{\frac{7}{11}} = (b^{\frac{7}{33}})^3$.

Ответ: $(b^{\frac{7}{33}})^3$.

13.9. Раскройте скобки:

1) $(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3});$

2) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2;$

3) $(b^{0.4} + 3)^2 - 6b^{0.4};$

4) $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a);$

5) $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}});$

6) $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1).$

1) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{0,5} - 3b^{0,3})(2a^{0,5} + b^{0,3})$ воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(a^{0,5} - 3b^{0,3})(2a^{0,5} + b^{0,3}) = a^{0,5} \cdot 2a^{0,5} + a^{0,5} \cdot b^{0,3} - 3b^{0,3} \cdot 2a^{0,5} - 3b^{0,3} \cdot b^{0,3}$

Применим свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$2a^{0,5+0,5} + a^{0,5}b^{0,3} - 6a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,3+0,3} = 2a^1 + a^{0,5}b^{0,3} - 6a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$

Приведем подобные слагаемые:

$2a - 5a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$

Ответ: $2a - 5a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$

2) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2$

Применим свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$a^{\frac{1}{3} \cdot 2} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

3) Сначала раскроем скобки в $(b^{0,4} + 3)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = b^{0,4}$ и $y = 3$.

$(b^{0,4} + 3)^2 = (b^{0,4})^2 + 2 \cdot b^{0,4} \cdot 3 + 3^2 = b^{0,4 \cdot 2} + 6b^{0,4} + 9 = b^{0,8} + 6b^{0,4} + 9$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(b^{0,8} + 6b^{0,4} + 9) - 6b^{0,4}$

Приведем подобные слагаемые:

$b^{0,8} + (6b^{0,4} - 6b^{0,4}) + 9 = b^{0,8} + 9$

Ответ: $b^{0,8} + 9$

4) Выражение $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a)$ соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Проверим, так ли это. Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = a^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}}$.

$xy = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.

$y^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a^1 = a$.

Второй множитель действительно равен $x^2 - xy + y^2$. Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$x^3 + y^3 = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} + a^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^1 + a^{\frac{3}{2}} = a + a^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $a + a^{\frac{3}{2}}$

5) В выражении $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$ раскроем скобки последовательно.

Первые два множителя $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$ представляют собой формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{1}{6}}$ и $y = b^{\frac{1}{6}}$.

$(a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$

Теперь умножим результат на третий множитель:

$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$

Это снова формула разности квадратов, где $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

6) В выражении $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$ рассмотрим произведение первых двух множителей.

Оно соответствует формуле разности кубов $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Пусть $a = x^{\frac{2}{9}}$ и $b = 1$.

Проверим второй множитель: $a^2 = (x^{\frac{2}{9}})^2 = x^{\frac{4}{9}}$, $ab = x^{\frac{2}{9}} \cdot 1 = x^{\frac{2}{9}}$, $b^2 = 1^2 = 1$. Совпадает.

Применим формулу:

$a^3 - b^3 = (x^{\frac{2}{9}})^3 - 1^3 = x^{\frac{2 \cdot 3}{9}} - 1 = x^{\frac{6}{9}} - 1 = x^{\frac{2}{3}} - 1$

Теперь умножим результат на оставшийся множитель:

$(x^{\frac{2}{3}} - 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$

Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = x^{\frac{2}{3}}$ и $b = 1$.

$(x^{\frac{2}{3}})^2 - 1^2 = x^{\frac{2 \cdot 2}{3}} - 1 = x^{\frac{4}{3}} - 1$

Ответ: $x^{\frac{4}{3}} - 1$

13.10. Раскройте скобки:

1) $(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}});$

2) $(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2;$

3) $(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4);$

4) $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1).$

1) $(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}})$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном выражении $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = 5b^{-\frac{1}{4}}$.

Подставляя в формулу, получаем:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (5b^{-\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 5^2 \cdot b^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{2}{4}} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$

2) $(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении $x = b^{\frac{4}{3}}$ и $y = b^{-\frac{2}{3}}$.

Подставляя в формулу, получаем:

$(b^{\frac{4}{3}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + (b^{-\frac{2}{3}})^2 = b^{\frac{4}{3} \cdot 2} - 2b^{\frac{4}{3} + (-\frac{2}{3})} + b^{-\frac{2}{3} \cdot 2} = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$

Ответ: $b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$

3) $(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4)$

Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Проверим, подходит ли наше выражение под эту формулу. Пусть $a = x^{\frac{1}{6}}$ и $b=2$.

Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$, $ab = x^{\frac{1}{6}} \cdot 2 = 2x^{\frac{1}{6}}$ и $b^2 = 2^2 = 4$.

Вторая скобка $(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4)$ в точности соответствует выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(x^{\frac{1}{6}})^3 + 2^3 = x^{\frac{1}{6} \cdot 3} + 8 = x^{\frac{3}{6}} + 8 = x^{\frac{1}{2}} + 8$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 8$

4) $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)$

Для удобства перегруппируем множители:

$(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к первым двум скобкам, где $x = a^{\frac{1}{8}}$ и $y=1$:

$((a^{\frac{1}{8}})^2 - 1^2)(a^{\frac{1}{4}} + 1) = (a^{\frac{2}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1) = (a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Теперь мы снова можем применить формулу разности квадратов, где на этот раз $x = a^{\frac{1}{4}}$ и $y=1$:

$(a^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{4}} - 1 = a^{\frac{1}{2}} - 1$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$