Номер 13.10, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.10. Раскройте скобки:

1) $(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}});$

2) $(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2;$

3) $(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4);$

4) $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1).$

1) $(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}})$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном выражении $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = 5b^{-\frac{1}{4}}$.

Подставляя в формулу, получаем:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (5b^{-\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 5^2 \cdot b^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{2}{4}} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$

2) $(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении $x = b^{\frac{4}{3}}$ и $y = b^{-\frac{2}{3}}$.

Подставляя в формулу, получаем:

$(b^{\frac{4}{3}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + (b^{-\frac{2}{3}})^2 = b^{\frac{4}{3} \cdot 2} - 2b^{\frac{4}{3} + (-\frac{2}{3})} + b^{-\frac{2}{3} \cdot 2} = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$

Ответ: $b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$

3) $(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4)$

Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Проверим, подходит ли наше выражение под эту формулу. Пусть $a = x^{\frac{1}{6}}$ и $b=2$.

Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$, $ab = x^{\frac{1}{6}} \cdot 2 = 2x^{\frac{1}{6}}$ и $b^2 = 2^2 = 4$.

Вторая скобка $(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4)$ в точности соответствует выражению $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(x^{\frac{1}{6}})^3 + 2^3 = x^{\frac{1}{6} \cdot 3} + 8 = x^{\frac{3}{6}} + 8 = x^{\frac{1}{2}} + 8$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 8$

4) $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)$

Для удобства перегруппируем множители:

$(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к первым двум скобкам, где $x = a^{\frac{1}{8}}$ и $y=1$:

$((a^{\frac{1}{8}})^2 - 1^2)(a^{\frac{1}{4}} + 1) = (a^{\frac{2}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1) = (a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$

Теперь мы снова можем применить формулу разности квадратов, где на этот раз $x = a^{\frac{1}{4}}$ и $y=1$:

$(a^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{4}} - 1 = a^{\frac{1}{2}} - 1$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$