Номер 13.14, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.14. Постройте график функции:

1) $y = (x^{\frac{1}{3}})^3$;

2) $y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4$;

3) $y = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}}$.

1) $y = (x^{\frac{1}{3}})^3$

Сначала найдем область определения функции. Выражение $x^{\frac{1}{3}}$ (кубический корень из $x$) определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим данное выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = (x^{\frac{1}{3}})^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 = x$.

Таким образом, мы получили функцию $y = x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая линия, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x$.

2) $y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4$

Найдем область определения функции. Выражение $(x-2)^{\frac{1}{4}}$ (корень четвертой степени из $x-2$) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, так как показатель степени имеет четный знаменатель. Поэтому должно выполняться условие:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$.

Упростим выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4 = (x-2)^{\frac{1}{4} \cdot 4} = (x-2)^1 = x-2$.

Мы получили функцию $y = x-2$, которая определена только при $x \ge 2$. Графиком этой функции является луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(3, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x-2$ с началом в точке $(2, 0)$.

3) $y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}}$

Найдем область определения функции. Функция содержит множители $x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{1}{6}}$. Поскольку в показателях степеней есть четные знаменатели (2 и 6), основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Это означает, что $x \ge 0$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$.

Упростим выражение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m a^n = a^{m+n}$:

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$

Сложим показатели степеней, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Таким образом, функция принимает вид $y = x^1 = x$.

Мы получили функцию $y=x$, которая определена только при $x \ge 0$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x$ с началом в точке $(0, 0)$.