Страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.11. Сократите дробь:

1) $\frac{a - 4b}{a^{0.5} + 2b^{0.5}};$

2) $\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b};$

3) $\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}};$

4) $\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}};$

5) $\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}};$

6) $\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}.$

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a - 4b}{a^{0.5} + 2b^{0.5}} $, представим числитель как разность квадратов. Заметим, что $ a = (a^{0.5})^2 $ и $ 4b = (2b^{0.5})^2 $. Используя формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, получаем: $ a - 4b = (a^{0.5})^2 - (2b^{0.5})^2 = (a^{0.5} - 2b^{0.5})(a^{0.5} + 2b^{0.5}) $. Теперь подставим это выражение в числитель дроби: $ \frac{(a^{0.5} - 2b^{0.5})(a^{0.5} + 2b^{0.5})}{a^{0.5} + 2b^{0.5}} $. Сокращаем общий множитель $ (a^{0.5} + 2b^{0.5}) $ в числителе и знаменателе. В результате получаем $ a^{0.5} - 2b^{0.5} $.
Ответ: $ a^{0.5} - 2b^{0.5} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} $. Преобразуем числитель по формуле разности квадратов: $ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} $: $ ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $. Дробь принимает вид: $ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} $. Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $. Получаем $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.
Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.

3) Дана дробь $ \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $. Числитель является полным квадратом разности. Используем формулу $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $. Пусть $ x = 2c^{\frac{1}{3}} $ и $ y = 3d^{\frac{1}{3}} $. Тогда $ x^2 = (2c^{\frac{1}{3}})^2 = 4c^{\frac{2}{3}} $, $ y^2 = (3d^{\frac{1}{3}})^2 = 9d^{\frac{2}{3}} $, и $ 2xy = 2 \cdot (2c^{\frac{1}{3}}) \cdot (3d^{\frac{1}{3}}) = 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} $. Следовательно, числитель равен $ (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2 $. Подставим это в дробь: $ \frac{(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $. Сокращаем на $ (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}) $. Получаем $ 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}} $.
Ответ: $ 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}} $.

4) Рассмотрим дробь $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} $. Знаменатель можно представить как разность кубов. Используем формулу $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $. Пусть $ x = m^{\frac{1}{2}} $ и $ y = n^{\frac{1}{2}} $. Тогда $ x^3 = (m^{\frac{1}{2}})^3 = m^{\frac{3}{2}} $ и $ y^3 = (n^{\frac{1}{2}})^3 = n^{\frac{3}{2}} $. Знаменатель раскладывается на множители: $ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2) = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n) $. Подставим это в дробь: $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)} $. Сокращаем общий множитель $ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) $. В результате получаем $ \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n} $.
Ответ: $ \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n} $.

5) Рассмотрим дробь $ \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} $. В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{2}} $ (так как $ \frac{1}{2} < \frac{3}{4} $): $ a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}} + 7) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7) $. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{2}} $: $ a - 49a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{1-\frac{1}{2}} - 49) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49) $. Выражение в скобках в знаменателе является разностью квадратов: $ a^{\frac{1}{2}} - 49 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 7^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7) $. Дробь принимает вид: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7)} $. Сокращаем общие множители $ a^{\frac{1}{2}} $ и $ (a^{\frac{1}{4}} + 7) $. Получаем $ \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7} $.

6) Рассмотрим дробь $ \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} $. Разложим числа под корнем на множители. В числителе: $ 30 = 5 \cdot 6 $. Тогда $ 30^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 6)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}} $. Вынесем общий множитель $ 6^{\frac{1}{5}} $ за скобки: $ 30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $. В знаменателе: $ 10 = 5 \cdot 2 $. Тогда $ 10^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} $. Вынесем общий множитель $ 2^{\frac{1}{5}} $ за скобки: $ 10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $. Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)}{2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)} $. Сокращаем общий множитель $ (5^{\frac{1}{5}} - 1) $. Остается $ \frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = (\frac{6}{2})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}} $.
Ответ: $ 3^{\frac{1}{5}} $.

13.12. Сократите дробь:

1) $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2};$

2) $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b};$

3) $\frac{x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5}}{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y};$

4) $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25};$

5) $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}};$

6) $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}.$

1)Исходная дробь: $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$:
$a + 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{1-\frac{1}{3}} + 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.
Сократим одинаковые выражения $(a^{\frac{2}{3}} + 2)$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $a^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$.

2)Исходная дробь: $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}$.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов, представив $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$:
$a - b^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - b^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:
$a - a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}(a^{1-\frac{1}{2}} - b) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)}$.
Сократим одинаковые множители $(a^{\frac{1}{2}} - b)$:
$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Можно оставить в таком виде или разделить почленно: $1 + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}}$.

3)Исходная дробь: $\frac{x^{3,5}y^{2,5} - x^{2,5}y^{3,5}}{x + 2x^{0,5}y^{0,5} + y}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{2,5}y^{2,5}$:
$x^{3,5}y^{2,5} - x^{2,5}y^{3,5} = x^{2,5}y^{2,5}(x - y)$.
Знаменатель представляет собой полный квадрат суммы: $x + 2x^{0,5}y^{0,5} + y = (x^{0,5})^2 + 2x^{0,5}y^{0,5} + (y^{0,5})^2 = (x^{0,5} + y^{0,5})^2$.
Разложим выражение $(x-y)$ в числителе по формуле разности квадратов:
$x - y = (x^{0,5})^2 - (y^{0,5})^2 = (x^{0,5} - y^{0,5})(x^{0,5} + y^{0,5})$.
Подставим все в исходную дробь:
$\frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})(x^{0,5} + y^{0,5})}{(x^{0,5} + y^{0,5})^2}$.
Сократим $(x^{0,5} + y^{0,5})$:
$\frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})}{x^{0,5} + y^{0,5}}$.
Ответ: $\frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})}{x^{0,5} + y^{0,5}}$.

4)Исходная дробь: $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$.
Представим числитель как разность кубов: $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $125 = 5^3$.
$a - 125 = (a^{\frac{1}{3}})^3 - 5^3 = (a^{\frac{1}{3}} - 5)( (a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}} \cdot 5 + 5^2 ) = (a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)$.
Представим знаменатель как разность квадратов: $a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2$ и $25 = 5^2$.
$a^{\frac{2}{3}} - 25 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{1}{3}} + 5)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)}{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{1}{3}} + 5)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 5)$:
$\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}$.

5)Исходная дробь: $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{5}{6}}$:
$m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}} = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{2}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{3}} - 36)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$ (обратив внимание, что $m^{\frac{1}{2}}=m^{\frac{3}{6}}$ и $m^{\frac{1}{3}}=m^{\frac{2}{6}}$):
$m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{3}{6}-\frac{2}{6}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)$.
Разложим выражение $(m^{\frac{1}{3}} - 36)$ в числителе по формуле разности квадратов:
$m^{\frac{1}{3}} - 36 = (m^{\frac{1}{6}})^2 - 6^2 = (m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.
Подставим все в дробь:
$\frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)}$.
Сократим общий множитель $(m^{\frac{1}{6}} - 6)$:
$\frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)}{m^{\frac{1}{3}}}$.
Упростим степени $m$: $\frac{m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}} = m^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} = m^{\frac{3}{6}} = m^{\frac{1}{2}}$.
Окончательное выражение: $m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.
Ответ: $m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.

6)Исходная дробь: $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$.
Разложим числа в числителе и знаменателе на множители:
$24 = 3 \cdot 8$, $6 = 3 \cdot 2$.
В числителе: $24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 8)^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}$.
Вынесем общий множитель $8^{\frac{1}{4}}$ за скобки: $8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.
В знаменателе: $6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 2)^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}$.
Вынесем общий множитель $2^{\frac{1}{4}}$ за скобки: $2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}{2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}$.
Сократим общий множитель $(3^{\frac{1}{4}} - 1)$:
$\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = (\frac{8}{2})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}}$.
Упростим результат: $4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

13.13. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $( (a-2)^{-\frac{1}{3}} )^3 = a-2;$

2) $( (a-2)^{-\frac{1}{3}} )^{-3} = a-2?$

1) Равенство $((a-2)^{\frac{1}{3}})^3 = a-2$ основано на свойстве степеней $(x^m)^n = x^{mn}$. Применяя это свойство, получаем: $((a-2)^{\frac{1}{3}})^3 = (a-2)^{\frac{1}{3} \cdot 3} = (a-2)^1 = a-2$. Выражение $(a-2)^{\frac{1}{3}}$, которое тождественно $\sqrt[3]{a-2}$, определено для любых действительных значений $a$, так как корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Поскольку область определения левой части уравнения охватывает все действительные числа, а алгебраическое преобразование показывает, что левая часть тождественно равна правой, данное равенство выполняется при любом действительном значении $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

2) Рассмотрим левую часть равенства $((a-2)^{-\frac{1}{3}})^{-3} = a-2$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Выражение $(a-2)^{-\frac{1}{3}}$ можно представить в виде $\frac{1}{(a-2)^{\frac{1}{3}}}$ или $\frac{1}{\sqrt[3]{a-2}}$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому должно выполняться условие: $(a-2)^{\frac{1}{3}} \neq 0$ $a-2 \neq 0$ $a \neq 2$ При всех значениях $a$, удовлетворяющих этому условию ($a \neq 2$), мы можем применить свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$: $((a-2)^{-\frac{1}{3}})^{-3} = (a-2)^{(-\frac{1}{3}) \cdot (-3)} = (a-2)^1 = a-2$. Таким образом, левая часть равенства равна правой для всех значений $a$, кроме $a=2$.
Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

13.14. Постройте график функции:

1) $y = (x^{\frac{1}{3}})^3$;

2) $y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4$;

3) $y = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{6}}$.

1) $y = (x^{\frac{1}{3}})^3$

Сначала найдем область определения функции. Выражение $x^{\frac{1}{3}}$ (кубический корень из $x$) определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим данное выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = (x^{\frac{1}{3}})^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 = x$.

Таким образом, мы получили функцию $y = x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая линия, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x$.

2) $y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4$

Найдем область определения функции. Выражение $(x-2)^{\frac{1}{4}}$ (корень четвертой степени из $x-2$) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, так как показатель степени имеет четный знаменатель. Поэтому должно выполняться условие:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$.

Упростим выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = ((x-2)^{\frac{1}{4}})^4 = (x-2)^{\frac{1}{4} \cdot 4} = (x-2)^1 = x-2$.

Мы получили функцию $y = x-2$, которая определена только при $x \ge 2$. Графиком этой функции является луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(3, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x-2$ с началом в точке $(2, 0)$.

3) $y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}}$

Найдем область определения функции. Функция содержит множители $x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{1}{6}}$. Поскольку в показателях степеней есть четные знаменатели (2 и 6), основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Это означает, что $x \ge 0$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$.

Упростим выражение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m a^n = a^{m+n}$:

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$

Сложим показатели степеней, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Таким образом, функция принимает вид $y = x^1 = x$.

Мы получили функцию $y=x$, которая определена только при $x \ge 0$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x$ с началом в точке $(0, 0)$.

13.15. Вычислите значение выражения:

1) $(\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} + (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} \cdot (0,81)^{-0,5};$

2) $16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{-\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5};$

3) $\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{5}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}};$

4) $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 36^{-\frac{1}{6}}.$

1)
Вычислим значение каждого слагаемого и множителя по отдельности:
$\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = (16^{-1})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
$\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = (8^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
$(0,81)^{-0,5} = \left(\frac{81}{100}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{100}{81}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$(8 + 4) \cdot \frac{10}{9} = 12 \cdot \frac{10}{9} = \frac{12 \cdot 10}{9} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 10}{3 \cdot 3} = \frac{40}{3}$.
Ответ: $\frac{40}{3}$.

2)
Приведем все множители к основанию 2, так как $16=2^4$, $8=2^3$ и $4=2^2$:
$16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{-\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5} = (2^4)^{\frac{1}{8}} \cdot (2^3)^{-\frac{5}{6}} \cdot (2^2)^{1,5}$.
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{4 \cdot \frac{1}{8}} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{5}{6})} \cdot 2^{2 \cdot 1,5} = 2^{\frac{4}{8}} \cdot 2^{-\frac{15}{6}} \cdot 2^3 = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{5}{2}} \cdot 2^3$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$2^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3} = 2^{\frac{1-5}{2} + 3} = 2^{-\frac{4}{2} + 3} = 2^{-2 + 3} = 2^1 = 2$.
Ответ: $2$.

3)
Объединим дроби и приведем степени к простым основаниям (2, 3, 5). Заметим, что $81=3^4$, $9=3^2$, $8=2^3$:
$\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 81^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{5}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}} = \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot (3^4)^{\frac{1}{12}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{4}}}{(3^2)^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}}}$.
Упростим показатели степеней:
$\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{12}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{2}{6}} \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} = \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}$.
Вычислим новые показатели:
$5^{-\frac{2}{2}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 5^{-1} \cdot 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$.
Запишем ответ в виде корней:
$\frac{\sqrt[4]{2^3}}{5\sqrt[3]{3^2}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{5\sqrt[3]{9}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{8}}{5\sqrt[3]{9}}$.

4)
Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем первый множитель:
$(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 72^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 72^{\frac{1}{3}}$.
Разложим 72 на простые множители: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
$72^{\frac{1}{3}} = (2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}} = 2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$.
Теперь преобразуем делитель:
$36^{-\frac{1}{6}} = (6^2)^{-\frac{1}{6}} = 6^{-\frac{2}{6}} = 6^{-\frac{1}{3}} = (2 \cdot 3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}$.
Подставим всё в исходное выражение:
$(2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : (2^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}})$.
Запишем деление как умножение на дробь и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}}}{2^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}} = (2^1 \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}) \cdot (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})$.
Сложим показатели степеней:
$2^{1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{1 - \frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}} = 2^{1-1} \cdot 3^1 = 2^0 \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$.
Ответ: $3$.

13.16. Найдите значение выражения:

1) $ (343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}})^{\frac{4}{3}} $

2) $ 10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} $

3) $ \frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}} $

4) $ \frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}} $

1) $\left(343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Для решения представим основания степеней в виде степеней числа 7, так как $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$.

$\left((7^3)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{7^2}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{3 \cdot \frac{1}{2}} \cdot (7^{-2})^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-2 \cdot \frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{6}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Теперь используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для выражения в скобках. Приведем показатели к общему знаменателю:

$\left(7^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Еще раз применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$7^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 7^1 = 7$

Ответ: 7

2) $10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(10 \cdot 40)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 400^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Представим 400 как $20^2$:

$(20^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{2 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Снова применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(20 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10

3) $\frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}}$

Для упрощения выражения приведем все основания степеней к одному основанию — 2:

$32 = 2^5$; $4 = 2^2$; $64 = 2^6$; $16 = 2^4$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(2^5)^{0,24} \cdot (2^2)^{0,7}}{(2^6)^{0,6} \cdot (2^4)^{0,25}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, вычислим показатели:

$\frac{2^{5 \cdot 0,24} \cdot 2^{2 \cdot 0,7}}{2^{6 \cdot 0,6} \cdot 2^{4 \cdot 0,25}} = \frac{2^{1,2} \cdot 2^{1,4}}{2^{3,6} \cdot 2^{1}}$

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:

$\frac{2^{1,2 + 1,4}}{2^{3,6 + 1}} = \frac{2^{2,6}}{2^{4,6}}$

Теперь применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{2,6 - 4,6} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

4) $\frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}}$

Объединим две дроби в одну, перемножив числители и знаменатели:

$\frac{12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и упростим числитель и знаменатель.

В числителе: $12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = (12 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} = 6$.

Числитель становится: $6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}$.

В знаменателе: $8^{-\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} = 8^{-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}} = 8^{-\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = 8^{\frac{2}{6}} = 8^{\frac{1}{3}}$.

Так как $8 = 2^3$, то $8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.

Знаменатель становится: $7^{\frac{2}{3}} \cdot 2$.

Теперь запишем упрощенную дробь:

$\frac{6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$

Разделим коэффициенты и степени с одинаковым основанием:

$\frac{6}{2} \cdot \frac{7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = 3 \cdot 7^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = 3 \cdot 7^{\frac{3}{3}} = 3 \cdot 7^1 = 21$

Ответ: 21

13.17. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$;

2) $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$;

3) $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} = -1$.

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$

Исходное уравнение: $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$.

Сначала преобразуем обе части уравнения. Степень с отрицательным показателем можно записать как обратную величину: $x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

Десятичную дробь 0,04 представим в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{25}$.

Отсюда следует, что $x^{\frac{2}{3}} = 25$.

Выражение $x^{\frac{2}{3}}$ можно представить как $(\sqrt[3]{x})^2$. Тогда получаем:

$(\sqrt[3]{x})^2 = 25$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1. $\sqrt[3]{x} = 5$

Возводим обе части в куб, чтобы найти $x$: $x = 5^3 = 125$.

2. $\sqrt[3]{x} = -5$

Возводим обе части в куб: $x = (-5)^3 = -125$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $125; -125$.

2) $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$

Исходное уравнение: $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$.

По определению степени с дробным показателем, основание $(x-2)$ должно быть неотрицательным, так как в знаменателе показателя стоит 2 (четное число). Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) определяется неравенством $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Чтобы найти $(x-2)$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $\frac{5}{2}$, то есть в степень $\frac{2}{5}$:

$((x-2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}}$

$x-2 = 32^{\frac{2}{5}}$

Вычислим значение правой части. $32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^2$. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Следовательно, $32^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.

Получаем уравнение:

$x-2=4$

$x=4+2$

$x=6$

Полученное значение $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $6$.

3) $(x^2-2x)^{\frac{1}{4}} = -1$

Исходное уравнение: $(x^2-2x)^{\frac{1}{4}} = -1$.

Выражение в левой части $(x^2-2x)^{\frac{1}{4}}$ представляет собой арифметический корень четвертой степени из $(x^2-2x)$, то есть $\sqrt[4]{x^2-2x}$.

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) из любого неотрицательного числа является неотрицательным числом. То есть, $\sqrt[4]{x^2-2x} \ge 0$ для всех $x$, при которых выражение определено.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-1$.

Таким образом, уравнение требует, чтобы неотрицательная величина была равна отрицательной, что невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

13.18. Решите уравнение:

1) $x^{-1,5} = 27$;

2) $(x-1)^{\frac{2}{5}} = 100$;

3) $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0$.

1) Исходное уравнение: $x^{-1,5} = 27$.
Поскольку показатель степени является рациональным числом, основание степени $x$ должно быть положительным ($x > 0$).
Представим показатель степени $-1,5$ в виде обыкновенной дроби: $-1,5 = -3/2$.
Уравнение принимает вид: $x^{-3/2} = 27$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = 1/a^n$), перепишем уравнение: $\frac{1}{x^{3/2}} = 27$.
Отсюда находим $x^{3/2}$: $x^{3/2} = \frac{1}{27}$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $2/3$, обратную к $3/2$: $(x^{3/2})^{2/3} = (\frac{1}{27})^{2/3}$.
$x = (\frac{1}{27})^{2/3}$.
Вычислим значение правой части: $x = (\sqrt[3]{\frac{1}{27}})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Найденный корень $x=1/9$ удовлетворяет условию $x > 0$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

2) Исходное уравнение: $(x-1)^{-2/5} = 100$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{(x-1)^{2/5}} = 100$.
Выразим из уравнения $(x-1)^{2/5}$: $(x-1)^{2/5} = \frac{1}{100}$.
По определению степени с рациональным показателем, это можно записать как $\sqrt[5]{(x-1)^2} = \frac{1}{100}$.
Возведем обе части уравнения в 5-ю степень: $(\sqrt[5]{(x-1)^2})^5 = (\frac{1}{100})^5$.
$(x-1)^2 = (\frac{1}{10^2})^5 = \frac{1}{10^{10}}$.
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак $\pm$: $x-1 = \pm\sqrt{\frac{1}{10^{10}}} = \pm\frac{1}{10^5} = \pm 0,00001$.
Это дает нам два возможных решения:
1. $x - 1 = 0,00001 \implies x_1 = 1 + 0,00001 = 1,00001$.
2. $x - 1 = -0,00001 \implies x_2 = 1 - 0,00001 = 0,99999$.
Ответ: $0,99999; 1,00001$.

3) Исходное уравнение: $(x-5)^{3/7} = 0$.
Степень равна нулю тогда и только тогда, когда ее основание равно нулю (при условии, что показатель степени положителен, $3/7 > 0$).
Поэтому приравниваем основание степени к нулю: $x - 5 = 0$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$: $x = 5$.
Ответ: $5$.