Номер 13.12, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.12. Сократите дробь:

1) $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2};$

2) $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b};$

3) $\frac{x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5}}{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y};$

4) $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25};$

5) $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}};$

6) $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}.$

1)Исходная дробь: $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$:
$a + 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{1-\frac{1}{3}} + 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.
Сократим одинаковые выражения $(a^{\frac{2}{3}} + 2)$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $a^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$.

2)Исходная дробь: $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}$.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов, представив $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$:
$a - b^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - b^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:
$a - a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}(a^{1-\frac{1}{2}} - b) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)}$.
Сократим одинаковые множители $(a^{\frac{1}{2}} - b)$:
$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Можно оставить в таком виде или разделить почленно: $1 + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}}$.

3)Исходная дробь: $\frac{x^{3,5}y^{2,5} - x^{2,5}y^{3,5}}{x + 2x^{0,5}y^{0,5} + y}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{2,5}y^{2,5}$:
$x^{3,5}y^{2,5} - x^{2,5}y^{3,5} = x^{2,5}y^{2,5}(x - y)$.
Знаменатель представляет собой полный квадрат суммы: $x + 2x^{0,5}y^{0,5} + y = (x^{0,5})^2 + 2x^{0,5}y^{0,5} + (y^{0,5})^2 = (x^{0,5} + y^{0,5})^2$.
Разложим выражение $(x-y)$ в числителе по формуле разности квадратов:
$x - y = (x^{0,5})^2 - (y^{0,5})^2 = (x^{0,5} - y^{0,5})(x^{0,5} + y^{0,5})$.
Подставим все в исходную дробь:
$\frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})(x^{0,5} + y^{0,5})}{(x^{0,5} + y^{0,5})^2}$.
Сократим $(x^{0,5} + y^{0,5})$:
$\frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})}{x^{0,5} + y^{0,5}}$.
Ответ: $\frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})}{x^{0,5} + y^{0,5}}$.

4)Исходная дробь: $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$.
Представим числитель как разность кубов: $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $125 = 5^3$.
$a - 125 = (a^{\frac{1}{3}})^3 - 5^3 = (a^{\frac{1}{3}} - 5)( (a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}} \cdot 5 + 5^2 ) = (a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)$.
Представим знаменатель как разность квадратов: $a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2$ и $25 = 5^2$.
$a^{\frac{2}{3}} - 25 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{1}{3}} + 5)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)}{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{1}{3}} + 5)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 5)$:
$\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}$.

5)Исходная дробь: $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{5}{6}}$:
$m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}} = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{2}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{3}} - 36)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$ (обратив внимание, что $m^{\frac{1}{2}}=m^{\frac{3}{6}}$ и $m^{\frac{1}{3}}=m^{\frac{2}{6}}$):
$m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{3}{6}-\frac{2}{6}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)$.
Разложим выражение $(m^{\frac{1}{3}} - 36)$ в числителе по формуле разности квадратов:
$m^{\frac{1}{3}} - 36 = (m^{\frac{1}{6}})^2 - 6^2 = (m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.
Подставим все в дробь:
$\frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)}$.
Сократим общий множитель $(m^{\frac{1}{6}} - 6)$:
$\frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)}{m^{\frac{1}{3}}}$.
Упростим степени $m$: $\frac{m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}} = m^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} = m^{\frac{3}{6}} = m^{\frac{1}{2}}$.
Окончательное выражение: $m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.
Ответ: $m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.

6)Исходная дробь: $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$.
Разложим числа в числителе и знаменателе на множители:
$24 = 3 \cdot 8$, $6 = 3 \cdot 2$.
В числителе: $24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 8)^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}$.
Вынесем общий множитель $8^{\frac{1}{4}}$ за скобки: $8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.
В знаменателе: $6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 2)^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}$.
Вынесем общий множитель $2^{\frac{1}{4}}$ за скобки: $2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}{2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}$.
Сократим общий множитель $(3^{\frac{1}{4}} - 1)$:
$\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = (\frac{8}{2})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}}$.
Упростим результат: $4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.