Номер 13.17, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.17. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$;

2) $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$;

3) $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} = -1$.

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$

Исходное уравнение: $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$.

Сначала преобразуем обе части уравнения. Степень с отрицательным показателем можно записать как обратную величину: $x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

Десятичную дробь 0,04 представим в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{25}$.

Отсюда следует, что $x^{\frac{2}{3}} = 25$.

Выражение $x^{\frac{2}{3}}$ можно представить как $(\sqrt[3]{x})^2$. Тогда получаем:

$(\sqrt[3]{x})^2 = 25$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1. $\sqrt[3]{x} = 5$

Возводим обе части в куб, чтобы найти $x$: $x = 5^3 = 125$.

2. $\sqrt[3]{x} = -5$

Возводим обе части в куб: $x = (-5)^3 = -125$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $125; -125$.

2) $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$

Исходное уравнение: $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$.

По определению степени с дробным показателем, основание $(x-2)$ должно быть неотрицательным, так как в знаменателе показателя стоит 2 (четное число). Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) определяется неравенством $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Чтобы найти $(x-2)$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $\frac{5}{2}$, то есть в степень $\frac{2}{5}$:

$((x-2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}}$

$x-2 = 32^{\frac{2}{5}}$

Вычислим значение правой части. $32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^2$. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Следовательно, $32^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.

Получаем уравнение:

$x-2=4$

$x=4+2$

$x=6$

Полученное значение $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $6$.

3) $(x^2-2x)^{\frac{1}{4}} = -1$

Исходное уравнение: $(x^2-2x)^{\frac{1}{4}} = -1$.

Выражение в левой части $(x^2-2x)^{\frac{1}{4}}$ представляет собой арифметический корень четвертой степени из $(x^2-2x)$, то есть $\sqrt[4]{x^2-2x}$.

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) из любого неотрицательного числа является неотрицательным числом. То есть, $\sqrt[4]{x^2-2x} \ge 0$ для всех $x$, при которых выражение определено.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-1$.

Таким образом, уравнение требует, чтобы неотрицательная величина была равна отрицательной, что невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.