Номер 13.20, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.20. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}}} - \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{m}{n} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}$;

2) $\left(\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} - b^{-1}} - \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}}\right) : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$.

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Будем выполнять действия по шагам.

Шаг 1: Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $m$ за скобки:

$m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}} = m \cdot m^{\frac{1}{2}} + m \cdot n^{\frac{1}{2}} = m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$

Общим знаменателем для дробей в скобках является $m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$. Выполним вычитание:

$\frac{m^2 + n^2}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^2 + n^2 - m(m+n)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = $
$= \frac{m^2 + n^2 - m^2 - mn}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n^2 - mn}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}$

Шаг 2: Умножим результат первого шага на $\frac{m}{n}$:

$\frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n - m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}$

Шаг 3: Преобразуем числитель полученной дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n - m = (n^{\frac{1}{2}})^2 - (m^{\frac{1}{2}})^2 = (n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$\frac{(n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для упрощения вычислений введем замену переменных. Пусть $x = a^{-\frac{1}{3}}$ и $y = b^{-\frac{1}{3}}$. Тогда $a^{-1} = x^3$, $b^{-1} = y^3$, $a^{-\frac{2}{3}} = x^2$ и $b^{-\frac{2}{3}} = y^2$.

Подставим новые переменные в левую часть исходного выражения:

$\left( \frac{xy}{x^3 - y^3} - \frac{1}{x - y} \right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

Шаг 1: Выполним вычитание в скобках. Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для приведения к общему знаменателю:

$\frac{xy}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} - \frac{1 \cdot (x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{xy - (x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = $
$= \frac{xy - x^2 - xy - y^2}{x^3 - y^3} = \frac{-(x^2 + y^2)}{x^3 - y^3}$

Шаг 2: Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{-(x^2 + y^2)}{x^3 - y^3} \cdot \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2 + y^2}$

Сократим общий множитель $(x^2 + y^2)$:

$\frac{-1}{x^3 - y^3} \cdot (x^2 + xy + y^2) = \frac{-(x^2 + xy + y^2)}{x^3 - y^3}$

Теперь разложим знаменатель по формуле разности кубов и сократим дробь:

$\frac{-(x^2 + xy + y^2)}{(x-y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{-1}{x-y} = \frac{1}{y-x}$

Шаг 3: Выполним обратную замену, подставив вместо $x$ и $y$ их выражения через $a$ и $b$:

$\frac{1}{y-x} = \frac{1}{b^{-\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю и упростим полученное выражение:

$\frac{1}{\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.