Страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.19. Докажите тождество:

1) $ \left( \frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} - \frac{a^{0.5} - 2}{a - 1} \right) : \frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 1} = \frac{2}{a - 1}; $

2) $ \frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{\left( a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \right) \left( a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b \right)} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}. $

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разность квадратов.

Знаменатель первой дроби: $a + 2a^{0,5} + 1 = (a^{0,5})^2 + 2 \cdot a^{0,5} \cdot 1 + 1^2 = (a^{0,5} + 1)^2$.

Знаменатель второй дроби: $a - 1 = (a^{0,5})^2 - 1^2 = (a^{0,5} - 1)(a^{0,5} + 1)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)$:

$ \frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2} - \frac{a^{0,5} - 2}{(a^{0,5} - 1)(a^{0,5} + 1)} = \frac{(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} - 1) - (a^{0,5} - 2)(a^{0,5} + 1)}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} $

Раскроем скобки в числителе:

$(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} - 1) = (a^{0,5})^2 - a^{0,5} + 2a^{0,5} - 2 = a + a^{0,5} - 2$

$(a^{0,5} - 2)(a^{0,5} + 1) = (a^{0,5})^2 + a^{0,5} - 2a^{0,5} - 2 = a - a^{0,5} - 2$

Вычтем второе выражение из первого, чтобы найти итоговый числитель:

$(a + a^{0,5} - 2) - (a - a^{0,5} - 2) = a + a^{0,5} - 2 - a + a^{0,5} + 2 = 2a^{0,5}$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)}$.

Теперь выполним деление:

$ \frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} : \frac{a^{0,5}}{a^{0,5} + 1} = \frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} $

Сократив общие множители $a^{0,5}$ и $(a^{0,5} + 1)$, получим:

$ \frac{2}{(a^{0,5} + 1)(a^{0,5} - 1)} = \frac{2}{(a^{0,5})^2 - 1^2} = \frac{2}{a - 1} $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть равенства, упрощая каждое слагаемое по отдельности.

Упростим первое слагаемое: $\frac{(a-b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения. Числитель: $(a-b)^2 = ((a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}))^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2$.

Знаменатель (разность кубов): $a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$.

Тогда первое слагаемое равно: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$.

Упростим второе слагаемое: $\frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}$.

Разложим числитель: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)$.

Тогда второе слагаемое равно: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$.

Сложим упрощенные слагаемые. Они имеют общий знаменатель $a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Вынесем общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ за скобки в числителе:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \left[ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b) \right]}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Упростим выражение в квадратных скобках: $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b) = (a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + (a+b) = 2a + 2b + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$.

Подставим это обратно в дробь и сократим общий множитель:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = 2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}} $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

13.20. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}}} - \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{m}{n} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}$;

2) $\left(\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} - b^{-1}} - \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}}\right) : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$.

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Будем выполнять действия по шагам.

Шаг 1: Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $m$ за скобки:

$m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}} = m \cdot m^{\frac{1}{2}} + m \cdot n^{\frac{1}{2}} = m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$

Общим знаменателем для дробей в скобках является $m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$. Выполним вычитание:

$\frac{m^2 + n^2}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^2 + n^2 - m(m+n)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = $
$= \frac{m^2 + n^2 - m^2 - mn}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n^2 - mn}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}$

Шаг 2: Умножим результат первого шага на $\frac{m}{n}$:

$\frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n - m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}$

Шаг 3: Преобразуем числитель полученной дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n - m = (n^{\frac{1}{2}})^2 - (m^{\frac{1}{2}})^2 = (n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$\frac{(n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для упрощения вычислений введем замену переменных. Пусть $x = a^{-\frac{1}{3}}$ и $y = b^{-\frac{1}{3}}$. Тогда $a^{-1} = x^3$, $b^{-1} = y^3$, $a^{-\frac{2}{3}} = x^2$ и $b^{-\frac{2}{3}} = y^2$.

Подставим новые переменные в левую часть исходного выражения:

$\left( \frac{xy}{x^3 - y^3} - \frac{1}{x - y} \right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 + xy + y^2}$

Шаг 1: Выполним вычитание в скобках. Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для приведения к общему знаменателю:

$\frac{xy}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} - \frac{1 \cdot (x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{xy - (x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = $
$= \frac{xy - x^2 - xy - y^2}{x^3 - y^3} = \frac{-(x^2 + y^2)}{x^3 - y^3}$

Шаг 2: Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{-(x^2 + y^2)}{x^3 - y^3} \cdot \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2 + y^2}$

Сократим общий множитель $(x^2 + y^2)$:

$\frac{-1}{x^3 - y^3} \cdot (x^2 + xy + y^2) = \frac{-(x^2 + xy + y^2)}{x^3 - y^3}$

Теперь разложим знаменатель по формуле разности кубов и сократим дробь:

$\frac{-(x^2 + xy + y^2)}{(x-y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{-1}{x-y} = \frac{1}{y-x}$

Шаг 3: Выполним обратную замену, подставив вместо $x$ и $y$ их выражения через $a$ и $b$:

$\frac{1}{y-x} = \frac{1}{b^{-\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю и упростим полученное выражение:

$\frac{1}{\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

13.21. Упростите выражение:

1) $\frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} : a^{\frac{1}{3}};$

2) $\frac{\left(x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{x^4} - 8y\sqrt[3]{x}\right)} : \sqrt[3]{xy} \cdot \left(2 - \sqrt[3]{\frac{x}{y}}\right).$

1)

Преобразуем исходное выражение:

$ \frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} : a^{\frac{1}{3}} $

Сначала упростим числитель дроби. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}} = a(a^{\frac{4}{3}} - 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}}) $

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=a^{\frac{2}{3}}$ и $y=b^{\frac{2}{3}}$:

$ a((a^{\frac{2}{3}})^2 - 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} + (b^{\frac{2}{3}})^2) = a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})^2 $

Теперь упростим знаменатель, используя метод группировки. Сгруппируем первый и третий члены, а также второй и четвертый:

$ (a^{\frac{5}{3}} - ab^{\frac{2}{3}}) + (-a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b) = a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $

Вынесем общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})$:

$ (a - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})^2}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})} $

Сократим на $(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})$:

$ \frac{a(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} $

Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ к выражению $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2$:

$ \frac{a(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} $

Сократим на $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$ и упростим степени $a$:

$ \frac{a(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{1-\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $

Наконец, выполним деление на $a^{\frac{1}{3}}$:

$ a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} $

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$

2)

Перепишем выражение, используя степени вместо корней:

$ \frac{x^{\frac{2}{3}} + 2(xy)^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}} : (xy)^{\frac{1}{3}} \cdot (2 - (\frac{x}{y})^{\frac{1}{3}}) $

Будем выполнять действия по порядку слева направо. Сначала упростим дробь.

Числитель: $x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}$. Это выражение является неполным квадратом суммы.

Знаменатель: $x^{\frac{4}{3}} - 8yx^{\frac{1}{3}}$. Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$:

$ x^{\frac{1}{3}}(x - 8y) $

Выражение в скобках является разностью кубов $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$, где $A = x^{\frac{1}{3}}$ и $B = 2y^{\frac{1}{3}}$:

$ x - 8y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (2y^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})( (x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}}(2y^{\frac{1}{3}}) + (2y^{\frac{1}{3}})^2 ) = (x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $

Таким образом, знаменатель равен: $x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})$.

Теперь упростим дробь, сократив общее выражение в числителе и знаменателе:

$ \frac{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} $

Следующим действием выполним деление на $\sqrt[3]{xy} = (xy)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$:

$ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} : (x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}) \cdot x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} $

Последнее действие — умножение. Упростим второй множитель:

$ 2 - \sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 2 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{2y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = -\frac{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} $

Перемножим результаты:

$ \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})} \cdot (-\frac{x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) $

Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}})$:

$ -\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}}} = -\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}} = -\frac{1}{(xy)^{\frac{2}{3}}} $

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt[3]{(xy)^2}}$

13.22. Упростите выражение

$\frac{x - y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}$

Для упрощения данного выражения введем замену переменных. Пусть $a = x^{\frac{1}{4}}$ и $b = y^{\frac{1}{4}}$. Тогда:

$x = a^4$, $y = b^4$

$x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2 = a^2$, $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2 = b^2$

$x^{\frac{3}{4}} = (x^{\frac{1}{4}})^3 = a^3$

Перепишем исходное выражение, используя переменные $a$ и $b$, и упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}}$.

Числитель этой дроби раскладывается по формуле разности квадратов: $x - y = a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель: $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} = a^3 + a^2b = a^2(a+b)$.

Таким образом, первая дробь равна: $\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a^2(a+b)} = \frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2}$.

Вторая дробь: $\frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

В числителе вынесем общий множитель: $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = a^2b + ab^2 = ab(a+b)$.

Знаменатель равен $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = a^2 + b^2$.

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}$.

Третья дробь: $\frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Числитель: $x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}} = ab^{-1} = \frac{a}{b}$.

Знаменатель сворачивается по формуле квадрата разности: $x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}} = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, третья дробь равна: $\frac{a/b}{(a-b)^2} = \frac{a}{b(a-b)^2}$.

Теперь перемножим упрощенные дроби:

$\frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2} \cdot \frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \cdot \frac{a}{b(a-b)^2}$

Запишем все множители в одну дробь:

$\frac{(a-b)(a^2+b^2)ab(a+b)a}{a^2(a^2+b^2)b(a-b)^2}$

Сократим общие множители. Множитель $(a^2+b^2)$ есть и в числителе, и в знаменателе. Также сократим $a^2$ (из $a \cdot a$ в числителе) и $b$.

$\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}$

Теперь сократим множитель $(a-b)$:

$\frac{a+b}{a-b}$

Выполним обратную замену, подставив $a = x^{\frac{1}{4}}$ и $b = y^{\frac{1}{4}}$:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}$.

13.23. Вычислите произведение $x^{1,2} \cdot x^{1,3} \cdot x^{1,4} \cdot x^{1,5} \cdot \ldots \cdot x^{8,8}$, если $x = \sqrt[5]{2}$.

Для вычисления произведения степеней с одинаковым основанием $x$ необходимо сложить их показатели. Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:
$x^{1.2} \cdot x^{1.3} \cdot x^{1.4} \cdot \ldots \cdot x^{8.8} = x^{(1.2 + 1.3 + 1.4 + \ldots + 8.8)}$
Показатели степеней $1.2, 1.3, 1.4, \ldots, 8.8$ образуют арифметическую прогрессию. Найдем сумму этой прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 1.2$.
Последний член прогрессии $a_n = 8.8$.
Разность прогрессии $d = 1.3 - 1.2 = 0.1$.
Сначала определим количество членов прогрессии $n$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$8.8 = 1.2 + (n-1) \cdot 0.1$
$7.6 = (n-1) \cdot 0.1$
$76 = n - 1$
$n = 77$
Теперь вычислим сумму $S_n$ членов прогрессии по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:
$S_{77} = \frac{(1.2 + 8.8) \cdot 77}{2} = \frac{10 \cdot 77}{2} = 5 \cdot 77 = 385$
Следовательно, исходное произведение равно $x^{385}$.
По условию задачи дано, что $x = \sqrt[5]{2}$. Запишем это в виде степени: $x = 2^{\frac{1}{5}}$.
Подставим значение $x$ в полученное выражение:
$(2^{\frac{1}{5}})^{385} = 2^{\frac{1}{5} \cdot 385} = 2^{\frac{385}{5}} = 2^{77}$.
Ответ: $2^{77}$

13.24. Вычислите произведение $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} \cdot \ldots \cdot x^{\frac{1}{64}}$, если $x = 2^{\frac{64}{9}}$.

Для решения данной задачи необходимо сначала упростить произведение, а затем подставить заданное значение x.

1. Упростим произведение, используя свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} \cdot \ldots \cdot x^{\frac{1}{64}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}}$

2. Вычислим сумму показателей степени. Это сумма членов конечной убывающей геометрической прогрессии. Найдем эту сумму, приведя все дроби к общему знаменателю 64:

$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = \frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} + \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{32+16+8+4+2+1}{64} = \frac{63}{64}$

Таким образом, исходное произведение равно $x^{\frac{63}{64}}$.

3. Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 2^{\frac{64}{9}}$:

$(x)^{\frac{63}{64}} = (2^{\frac{64}{9}})^{\frac{63}{64}}$

4. Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{\frac{64}{9}})^{\frac{63}{64}} = 2^{\frac{64}{9} \cdot \frac{63}{64}}$

Сократим множители в показателе степени:

$2^{\frac{\cancel{64}}{9} \cdot \frac{63}{\cancel{64}}} = 2^{\frac{63}{9}} = 2^7$

5. Вычислим итоговое значение:

$2^7 = 128$

Ответ: 128

13.25. Упростите выражение

$(a^{0.125} + b^{0.75})(a^{0.25} + b^{1.5})(a^{0.5} + b^3)(a + b^6).$

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом, основанным на многократном применении формулы разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Исходное выражение:

$(a^{0.125} + b^{0.75})(a^{0.25} + b^{1.5})(a^{0.5} + b^3)(a + b^6)$

Заметим, что показатели степеней у переменных $a$ и $b$ в каждом следующем множителе удваиваются. Например, для $a$: $0.125 \cdot 2 = 0.25$, $0.25 \cdot 2 = 0.5$, $0.5 \cdot 2 = 1$. Аналогично для $b$: $0.75 \cdot 2 = 1.5$, $1.5 \cdot 2 = 3$, $3 \cdot 2 = 6$.

Чтобы "запустить" цепочку применений формулы разности квадратов, домножим и разделим исходное выражение на $(a^{0.125} - b^{0.75})$, при условии, что $a^{0.125} - b^{0.75} \neq 0$.

$\frac{(a^{0.125} - b^{0.75})(a^{0.125} + b^{0.75})(a^{0.25} + b^{1.5})(a^{0.5} + b^3)(a + b^6)}{a^{0.125} - b^{0.75}}$

Теперь начнем последовательно сворачивать множители в числителе:

1. $(a^{0.125} - b^{0.75})(a^{0.125} + b^{0.75}) = (a^{0.125})^2 - (b^{0.75})^2 = a^{0.25} - b^{1.5}$

После первого шага числитель примет вид:

$(a^{0.25} - b^{1.5})(a^{0.25} + b^{1.5})(a^{0.5} + b^3)(a + b^6)$

2. $(a^{0.25} - b^{1.5})(a^{0.25} + b^{1.5}) = (a^{0.25})^2 - (b^{1.5})^2 = a^{0.5} - b^{3}$

Теперь числитель выглядит так:

$(a^{0.5} - b^3)(a^{0.5} + b^3)(a + b^6)$

3. $(a^{0.5} - b^3)(a^{0.5} + b^3) = (a^{0.5})^2 - (b^3)^2 = a^1 - b^6 = a - b^6$

Остается последний шаг для числителя:

$(a - b^6)(a + b^6)$

4. $(a - b^6)(a + b^6) = a^2 - (b^6)^2 = a^2 - b^{12}$

Мы упростили числитель до выражения $a^2 - b^{12}$. Теперь подставим его обратно в нашу дробь.

Итоговое упрощенное выражение:

$\frac{a^2 - b^{12}}{a^{0.125} - b^{0.75}}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^{12}}{a^{0.125} - b^{0.75}}$

13.26. Упростите выражение $a^{0.2} + a^{0.5} + a^{0.8} + a^{1.1} + \dots + a^{7.1}$.

Данное выражение $a^{0,2} + a^{0,5} + a^{0,8} + a^{1,1} + ... + a^{7,1}$ представляет собой сумму членов конечной геометрической прогрессии. Это можно проверить, найдя отношение последующих членов к предыдущим.

Первый член этой прогрессии $b_1 = a^{0,2}$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:

$q = \frac{a^{0,5}}{a^{0,2}} = a^{0,5 - 0,2} = a^{0,3}$.

Для проверки можно взять отношение третьего члена ко второму: $\frac{a^{0,8}}{a^{0,5}} = a^{0,8 - 0,5} = a^{0,3}$. Знаменатель постоянен.

Чтобы найти сумму, необходимо определить количество членов прогрессии, $n$. Заметим, что показатели степеней $0,2; 0,5; 0,8; ...; 7,1$ образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой арифметической прогрессии $x_1 = 0,2$, а её разность $d = 0,5 - 0,2 = 0,3$. Последний член $x_n = 7,1$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $x_n = x_1 + (n-1)d$ для нахождения количества членов $n$:

$7,1 = 0,2 + (n-1) \cdot 0,3$

Вычтем $0,2$ из обеих частей:

$6,9 = (n-1) \cdot 0,3$

Разделим обе части на $0,3$:

$n-1 = \frac{6,9}{0,3} = \frac{69}{3} = 23$

Отсюда находим $n$:

$n = 23 + 1 = 24$.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим найденные значения $b_1 = a^{0,2}$, $q = a^{0,3}$ и $n = 24$:

$S_{24} = \frac{a^{0,2}((a^{0,3})^{24} - 1)}{a^{0,3} - 1}$

Упростим выражение в числителе:

$S_{24} = \frac{a^{0,2}(a^{0,3 \cdot 24} - 1)}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{0,2}(a^{7,2} - 1)}{a^{0,3} - 1}$

Раскроем скобки в числителе для получения альтернативной формы ответа:

$S_{24} = \frac{a^{0,2} \cdot a^{7,2} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{0,2 + 7,2} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1} = \frac{a^{7,4} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1}$

Ответ: $\frac{a^{7,4} - a^{0,2}}{a^{0,3} - 1}$

13.27. Упростите выражение $b^{12,7} - b^{12,6} + b^{12,5} - b^{12,4} + \ldots + b^{3,3}$.

Данное выражение представляет собой сумму членов конечной геометрической прогрессии.

Обозначим сумму как $S$. Первый член прогрессии $a_1 = b^{12,7}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{-b^{12,6}}{b^{12,7}} = -b^{12,6 - 12,7} = -b^{-0,1}$.

Чтобы найти количество членов прогрессии $n$, рассмотрим последовательность показателей степени: $12,7; 12,6; 12,5; \dots; 3,3$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $e_1 = 12,7$, разностью $d = -0,1$ и последним членом $e_n = 3,3$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $e_n = e_1 + (n-1)d$:

$3,3 = 12,7 + (n-1)(-0,1)$

$3,3 - 12,7 = -0,1(n-1)$

$-9,4 = -0,1(n-1)$

$94 = n-1$

$n = 95$.

Теперь воспользуемся формулой суммы $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим наши значения $a_1 = b^{12,7}$, $q = -b^{-0,1}$ и $n=95$:

$S_{95} = \frac{b^{12,7}(1 - (-b^{-0,1})^{95})}{1 - (-b^{-0,1})}$

Упростим выражение. Так как 95 — нечетное число, $(-b^{-0,1})^{95} = -b^{-0,1 \cdot 95} = -b^{-9,5}$.

Тогда числитель примет вид:

$b^{12,7}(1 - (-b^{-9,5})) = b^{12,7}(1 + b^{-9,5}) = b^{12,7} \cdot 1 + b^{12,7} \cdot b^{-9,5} = b^{12,7} + b^{12,7 - 9,5} = b^{12,7} + b^{3,2}$.

Знаменатель примет вид:

$1 - (-b^{-0,1}) = 1 + b^{-0,1}$.

Таким образом, сумма равна:

$S_{95} = \frac{b^{12,7} + b^{3,2}}{1 + b^{-0,1}}$.

Ответ: $\frac{b^{12,7} + b^{3,2}}{1 + b^{-0,1}}$