Номер 13.18, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.18. Решите уравнение:

1) $x^{-1,5} = 27$;

2) $(x-1)^{\frac{2}{5}} = 100$;

3) $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0$.

1) Исходное уравнение: $x^{-1,5} = 27$.
Поскольку показатель степени является рациональным числом, основание степени $x$ должно быть положительным ($x > 0$).
Представим показатель степени $-1,5$ в виде обыкновенной дроби: $-1,5 = -3/2$.
Уравнение принимает вид: $x^{-3/2} = 27$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = 1/a^n$), перепишем уравнение: $\frac{1}{x^{3/2}} = 27$.
Отсюда находим $x^{3/2}$: $x^{3/2} = \frac{1}{27}$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $2/3$, обратную к $3/2$: $(x^{3/2})^{2/3} = (\frac{1}{27})^{2/3}$.
$x = (\frac{1}{27})^{2/3}$.
Вычислим значение правой части: $x = (\sqrt[3]{\frac{1}{27}})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Найденный корень $x=1/9$ удовлетворяет условию $x > 0$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

2) Исходное уравнение: $(x-1)^{-2/5} = 100$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{(x-1)^{2/5}} = 100$.
Выразим из уравнения $(x-1)^{2/5}$: $(x-1)^{2/5} = \frac{1}{100}$.
По определению степени с рациональным показателем, это можно записать как $\sqrt[5]{(x-1)^2} = \frac{1}{100}$.
Возведем обе части уравнения в 5-ю степень: $(\sqrt[5]{(x-1)^2})^5 = (\frac{1}{100})^5$.
$(x-1)^2 = (\frac{1}{10^2})^5 = \frac{1}{10^{10}}$.
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак $\pm$: $x-1 = \pm\sqrt{\frac{1}{10^{10}}} = \pm\frac{1}{10^5} = \pm 0,00001$.
Это дает нам два возможных решения:
1. $x - 1 = 0,00001 \implies x_1 = 1 + 0,00001 = 1,00001$.
2. $x - 1 = -0,00001 \implies x_2 = 1 - 0,00001 = 0,99999$.
Ответ: $0,99999; 1,00001$.

3) Исходное уравнение: $(x-5)^{3/7} = 0$.
Степень равна нулю тогда и только тогда, когда ее основание равно нулю (при условии, что показатель степени положителен, $3/7 > 0$).
Поэтому приравниваем основание степени к нулю: $x - 5 = 0$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$: $x = 5$.
Ответ: $5$.