Номер 13.11, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.11. Сократите дробь:

1) $\frac{a - 4b}{a^{0.5} + 2b^{0.5}};$

2) $\frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b};$

3) $\frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}};$

4) $\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}};$

5) $\frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}};$

6) $\frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}.$

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a - 4b}{a^{0.5} + 2b^{0.5}} $, представим числитель как разность квадратов. Заметим, что $ a = (a^{0.5})^2 $ и $ 4b = (2b^{0.5})^2 $. Используя формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, получаем: $ a - 4b = (a^{0.5})^2 - (2b^{0.5})^2 = (a^{0.5} - 2b^{0.5})(a^{0.5} + 2b^{0.5}) $. Теперь подставим это выражение в числитель дроби: $ \frac{(a^{0.5} - 2b^{0.5})(a^{0.5} + 2b^{0.5})}{a^{0.5} + 2b^{0.5}} $. Сокращаем общий множитель $ (a^{0.5} + 2b^{0.5}) $ в числителе и знаменателе. В результате получаем $ a^{0.5} - 2b^{0.5} $.
Ответ: $ a^{0.5} - 2b^{0.5} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} $. Преобразуем числитель по формуле разности квадратов: $ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} $: $ ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $. Дробь принимает вид: $ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} $. Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $. Получаем $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.
Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.

3) Дана дробь $ \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $. Числитель является полным квадратом разности. Используем формулу $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $. Пусть $ x = 2c^{\frac{1}{3}} $ и $ y = 3d^{\frac{1}{3}} $. Тогда $ x^2 = (2c^{\frac{1}{3}})^2 = 4c^{\frac{2}{3}} $, $ y^2 = (3d^{\frac{1}{3}})^2 = 9d^{\frac{2}{3}} $, и $ 2xy = 2 \cdot (2c^{\frac{1}{3}}) \cdot (3d^{\frac{1}{3}}) = 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} $. Следовательно, числитель равен $ (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2 $. Подставим это в дробь: $ \frac{(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $. Сокращаем на $ (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}) $. Получаем $ 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}} $.
Ответ: $ 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}} $.

4) Рассмотрим дробь $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} $. Знаменатель можно представить как разность кубов. Используем формулу $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $. Пусть $ x = m^{\frac{1}{2}} $ и $ y = n^{\frac{1}{2}} $. Тогда $ x^3 = (m^{\frac{1}{2}})^3 = m^{\frac{3}{2}} $ и $ y^3 = (n^{\frac{1}{2}})^3 = n^{\frac{3}{2}} $. Знаменатель раскладывается на множители: $ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2) = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n) $. Подставим это в дробь: $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)} $. Сокращаем общий множитель $ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) $. В результате получаем $ \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n} $.
Ответ: $ \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n} $.

5) Рассмотрим дробь $ \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} $. В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{2}} $ (так как $ \frac{1}{2} < \frac{3}{4} $): $ a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}} + 7) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7) $. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{2}} $: $ a - 49a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{1-\frac{1}{2}} - 49) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49) $. Выражение в скобках в знаменателе является разностью квадратов: $ a^{\frac{1}{2}} - 49 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - 7^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7) $. Дробь принимает вид: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7)} $. Сокращаем общие множители $ a^{\frac{1}{2}} $ и $ (a^{\frac{1}{4}} + 7) $. Получаем $ \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7} $.

6) Рассмотрим дробь $ \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} $. Разложим числа под корнем на множители. В числителе: $ 30 = 5 \cdot 6 $. Тогда $ 30^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 6)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}} $. Вынесем общий множитель $ 6^{\frac{1}{5}} $ за скобки: $ 30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $. В знаменателе: $ 10 = 5 \cdot 2 $. Тогда $ 10^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} $. Вынесем общий множитель $ 2^{\frac{1}{5}} $ за скобки: $ 10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $. Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)}{2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)} $. Сокращаем общий множитель $ (5^{\frac{1}{5}} - 1) $. Остается $ \frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = (\frac{6}{2})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}} $.
Ответ: $ 3^{\frac{1}{5}} $.