Номер 13.5, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.5. Найдите значение выражения:

1) $(\frac{1}{49})^{-1.5}$

2) $8^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{1}{2}}$

3) $36^{0.4} \cdot 6^{1.2}$

4) $(4^{\frac{1}{8}})^{1.6} \cdot 16^{0.6}$

1) $(\frac{1}{49})^{-1,5}$

Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем основание и показатель степени.

Основание: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.

Показатель степени: $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$(\frac{1}{49})^{-1,5} = (7^{-2})^{-\frac{3}{2}}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются (свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$7^{(-2) \cdot (-\frac{3}{2})} = 7^3$

Теперь вычислим результат:

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$

Ответ: 343

2) $8^{2\frac{1}{2}} : 2^{2\frac{1}{2}}$

Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a:b)^n$.

$(8:2)^{2\frac{1}{2}} = 4^{2\frac{1}{2}}$

Представим смешанную дробь в показателе степени в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Получаем выражение $4^{\frac{5}{2}}$.

Теперь представим основание 4 как степень числа 2: $4=2^2$.

$(2^2)^{\frac{5}{2}}$

По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножим показатели:

$2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: 32

3) $36^{0,4} \cdot 6^{1,2}$

Чтобы упростить выражение, приведем степени к одному основанию. Заметим, что $36 = 6^2$.

$(6^2)^{0,4} \cdot 6^{1,2}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$6^{2 \cdot 0,4} \cdot 6^{1,2} = 6^{0,8} \cdot 6^{1,2}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$6^{0,8 + 1,2} = 6^2$

Вычислим значение:

$6^2 = 36$

Ответ: 36

4) $(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} \cdot 16^{0,6}$

Сначала упростим первый множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} = 4^{-\frac{1}{8} \cdot 1,6}$

Вычислим показатель степени, представив $1,6$ как дробь $\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$:

$-\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{1}{5}$

Теперь выражение имеет вид: $4^{-\frac{1}{5}} \cdot 16^{0,6}$.

Приведем все степени к основанию 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.

$(2^2)^{-\frac{1}{5}} \cdot (2^4)^{0,6}$

Снова применяем свойство возведения степени в степень:

$2^{2 \cdot (-\frac{1}{5})} \cdot 2^{4 \cdot 0,6} = 2^{-\frac{2}{5}} \cdot 2^{2,4}$

Переведем дробный показатель в десятичный: $-\frac{2}{5} = -0,4$.

$2^{-0,4} \cdot 2^{2,4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-0,4 + 2,4} = 2^2$

Вычислим результат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4