Вопросы?, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют степенью положительного числа $a$ с показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in Z, n \in N, n > 1$?

2. Что называют степенью числа $0$ с показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in N, n \in N$?

3. Сформулируйте теоремы о свойствах степени с рациональным показателем.

4. Какую функцию называют степенной функцией с рациональным показателем?

1. Что называют степенью положительного числа a с показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in Z, n \in N, n > 1$?

Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n > 1$), называют корень $n$-й степени из числа $a$ в степени $m$.

Это определение записывается в виде формулы: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Ответ: Степенью положительного числа $a$ с показателем $\frac{m}{n}$ ($m \in Z, n \in N, n > 1$) называется число $\sqrt[n]{a^m}$.

2. Что называют степенью числа 0 с показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in N, n \in N$?

Степенью числа 0 с положительным рациональным показателем $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ являются натуральными числами, по определению считают число 0.

Таким образом, $0^{\frac{m}{n}} = 0$ для любых $m, n \in N$. Данное определение справедливо только для положительного рационального показателя, так как степень нуля с отрицательным или нулевым показателем не определена.

Ответ: Степенью числа 0 с показателем $\frac{m}{n}$ ($m \in N, n \in N$) называется число 0.

3. Сформулируйте теоремы о свойствах степени с рациональным показателем.

Для любых положительных чисел $a$, $b$ и любых рациональных чисел $p$, $q$ справедливы следующие теоремы (свойства):

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.
• При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^p : a^q = a^{p-q}$.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^p)^q = a^{pq}$.
• Степень произведения равна произведению степеней сомножителей: $(ab)^p = a^p b^p$.
• Степень частного (дроби) равна частному от деления степени делимого на степень делителя: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

Ответ: Для любых $a > 0, b > 0$ и любых рациональных $p, q$ справедливы равенства: 1) $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$; 2) $a^p : a^q = a^{p-q}$; 3) $(a^p)^q = a^{pq}$; 4) $(ab)^p = a^p b^p$; 5) $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

4. Какую функцию называют степенной функцией с рациональным показателем?

Степенной функцией с рациональным показателем называют функцию, заданную формулой вида $y = x^r$, где $r$ — заданное рациональное число (показатель степени).

Область определения данной функции существенно зависит от значения показателя $r$.

Ответ: Степенной функцией с рациональным показателем называется функция вида $y = x^r$, где $r$ — рациональное число.