Номер 12.33, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.33. Упростите выражение $(\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)...(\sqrt{a} + 1)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом домножения на недостающий множитель, чтобы последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

Обозначим исходное выражение через $P$. Заметим, что показатели корней представляют собой степени двойки: $64=2^6, 32=2^5, ..., 2=2^1$. Полное выражение выглядит так:
$P = (\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)(\sqrt[8]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} + 1)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a \ge 0$ и $a \neq 1$.
В этом случае выражение $\sqrt[64]{a} - 1$ не равно нулю. Мы можем домножить и разделить исходное выражение на $\sqrt[64]{a} - 1$:

$P = \frac{(\sqrt[64]{a} - 1)(\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)(\sqrt[8]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt[64]{a} - 1}$

Теперь последовательно упростим числитель. Начнем с первых двух множителей:
$(\sqrt[64]{a} - 1)(\sqrt[64]{a} + 1) = (\sqrt[64]{a})^2 - 1^2 = \sqrt[32]{a} - 1$.

Теперь числитель принимает вид $(\sqrt[32]{a} - 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)...$ и так далее. Продолжая применять формулу разности квадратов, получаем:
$(\sqrt[32]{a} - 1)(\sqrt[32]{a} + 1) = \sqrt[16]{a} - 1$
$(\sqrt[16]{a} - 1)(\sqrt[16]{a} + 1) = \sqrt[8]{a} - 1$
$(\sqrt[8]{a} - 1)(\sqrt[8]{a} + 1) = \sqrt[4]{a} - 1$
$(\sqrt[4]{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1) = \sqrt{a} - 1$
$(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) = a - 1$.

Таким образом, весь числитель сворачивается в выражение $a - 1$. Следовательно, для $a \neq 1$ исходное выражение равно:

$P = \frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}$.

Случай 2: $a = 1$.
В этом случае мы не можем делить на $\sqrt[64]{a} - 1$, так как это выражение равно нулю. Вместо этого подставим значение $a=1$ непосредственно в исходное выражение:

$P = (\sqrt[64]{1} + 1)(\sqrt[32]{1} + 1)(\sqrt[16]{1} + 1)(\sqrt[8]{1} + 1)(\sqrt[4]{1} + 1)(\sqrt{1} + 1)$
$P = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64$.

Объединяя оба случая, получаем окончательное решение.

Ответ: $\begin{cases} \frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}, & \text{если } a \ge 0, a \neq 1 \\ 64, & \text{если } a = 1 \end{cases}$