Номер 12.26, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.26. Постройте график функции:

1) $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$;

2) $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$;

3) $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

1)

Рассмотрим функцию $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$.
По определению корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае степень корня $n=6$ является четной, поэтому $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.
Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y = 2x + |x|$.
Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 2x + x = 3x$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 2x - x = x$.
Следовательно, мы имеем дело с кусочно-линейной функцией: $y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат, точки $(0, 0)$.
- Для $x \ge 0$ это луч прямой $y=3x$. Он проходит через точки $(0,0)$ и, например, $(1,3)$.
- Для $x < 0$ это луч прямой $y=x$. Он проходит через точки $(0,0)$ и, например, $(-2,-2)$.
Ответ: График функции состоит из двух лучей: $y=x$ при $x < 0$ и $y=3x$ при $x \ge 0$, с общей начальной точкой в $(0,0)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$.
Найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени ($n=4$) должно быть неотрицательным. Условие $x^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Значит, область определения функции $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$.
Упростим данное выражение, используя свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$y = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4}$.
Поскольку показатель корня $n=4$ — четное число, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Таким образом, исходная функция имеет вид $y = |x|$.
График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей:
- $y=x$ для $x \ge 0$ (биссектриса I координатного угла).
- $y=-x$ для $x < 0$ (биссектриса II координатного угла).
Вершина графика находится в точке $(0,0)$.
Ответ: График функции совпадает с графиком функции $y=|x|$.

3)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.
Найдем область определения функции. Так как показатель корня $n=6$ является четным, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$x^3 \ge 0 \implies x \ge 0$
$x^9 \ge 0 \implies x \ge 0$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$.
На этой области определения упростим выражение, используя свойство произведения корней:
$y = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{3+9}} = \sqrt[6]{x^{12}}$.
Далее, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ (для $a \ge 0$), получим:
$y = x^{12/6} = x^2$.
Итак, необходимо построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$.
Этот график является правой ветвью стандартной параболы $y=x^2$. Он начинается в точке $(0,0)$ (вершина) и проходит через точки, например, $(1,1)$, $(2,4)$ и $(3,9)$.
Ответ: График функции — это правая ветвь параболы $y=x^2$, определенная для $x \ge 0$.