Номер 12.22, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.22. Внесите множитель под знак корня:

1) $c \sqrt[8]{3}$, если $c \le 0$;

2) $a^6 \sqrt{a}$;

3) $ab \sqrt[8]{\frac{3}{a^4 b^5}}$, если $a < 0$;

4) $a \sqrt[4]{-a^3}$.

1) Чтобы внести множитель $c$ под знак корня в выражении $c\sqrt[8]{3}$, необходимо учесть условие $c \le 0$. Показатель корня 8 является четным числом. Для внесения отрицательного множителя ($m < 0$) под знак корня четной степени ($2n$) используется правило $m\sqrt[2n]{x} = -\sqrt[2n]{m^{2n}x}$.
Если $c < 0$, то множитель $c$ отрицательный. Применяя правило, получаем:
$c\sqrt[8]{3} = -\sqrt[8]{(c)^8 \cdot 3} = -\sqrt[8]{3c^8}$.
Если $c = 0$, то $0 \cdot \sqrt[8]{3} = 0$, и $-\sqrt[8]{3 \cdot 0^8} = 0$. Таким образом, формула верна для всех $c \le 0$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3c^8}$.

2) В выражении $a^6\sqrt[6]{a}$ нужно внести множитель $a^6$ под знак корня. Показатель корня 6 — четное число. Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.
Множитель $a^6$ всегда неотрицателен ($a^6 \ge 0$), так как любое число в четной степени неотрицательно.
Для внесения неотрицательного множителя $m$ под знак корня степени $n$ используется правило $m\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{m^n x}$.
Вносим $a^6$ под корень, возведя его в 6-ю степень:
$a^6\sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{(a^6)^6 \cdot a} = \sqrt[6]{a^{36} \cdot a^1} = \sqrt[6]{a^{37}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^{37}}$.

3) В выражении $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}}$ необходимо внести множитель $ab$ под знак корня при условии $a < 0$.
Показатель корня 8 — четное число, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{3}{a^4b^5} \ge 0$.
Поскольку $3 > 0$ и $a^4 > 0$ (так как $a \ne 0$), это условие выполняется, если $b^5 > 0$, что означает $b > 0$.
Определим знак множителя $ab$. По условию $a < 0$ и мы выяснили, что $b > 0$. Следовательно, их произведение $ab$ отрицательно ($ab < 0$).
Так как множитель отрицательный, а показатель корня четный, используем правило $m\sqrt[2n]{x} = -\sqrt[2n]{m^{2n}x}$.
$ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{(ab)^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{\frac{a^8b^8 \cdot 3}{a^4b^5}}$.
Упростим выражение под корнем:
$\frac{3a^8b^8}{a^4b^5} = 3a^{8-4}b^{8-5} = 3a^4b^3$.
В результате получаем: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.

4) В выражении $a^4\sqrt[4]{-a^3}$ нужно внести множитель $a^4$ под знак корня.
Показатель корня 4 — четное число. Область определения выражения требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $-a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a^3 \le 0$, и следовательно, $a \le 0$.
Множитель $a^4$ является неотрицательным для любого действительного $a$, так как он возведен в четную степень ($a^4 \ge 0$).
Поскольку множитель неотрицательный, мы можем внести его под корень, возведя в степень, равную показателю корня:
$a^4\sqrt[4]{-a^3} = \sqrt[4]{(a^4)^4 \cdot (-a^3)} = \sqrt[4]{a^{16} \cdot (-a^3)} = \sqrt[4]{-a^{16+3}} = \sqrt[4]{-a^{19}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{-a^{19}}$.