Номер 12.25, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.25. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$;

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$.

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$

Для решения этой задачи преобразуем подкоренное выражение первого множителя, выделив полный квадрат. Мы ищем представление вида $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В выражении $7-4\sqrt{3}$ имеем $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$, откуда $ab=2\sqrt{3}$. Методом подбора легко найти, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ подходят, так как $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Следовательно, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$

Упростим первый множитель, используя свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $n=3$, $m=1$, $k=2$:

$\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

Выражение принимает вид:

$\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$

Используя свойство произведения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$, объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ для выражения в скобках:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

В результате получаем:

$\sqrt[3]{1} = 1$

Ответ: $1$

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$

Упростим второй множитель. Для этого представим подкоренное выражение $25+4\sqrt{6}$ в виде полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы $a^2+b^2=25$ и $2ab=4\sqrt{6}$, откуда $ab=2\sqrt{6}$. Попробуем $a=2\sqrt{6}$ и $b=1$. Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (2\sqrt{6})^2 + 1^2 = 4 \cdot 6 + 1 = 24+1=25$. Условие выполняется.

Значит, $25+4\sqrt{6} = (2\sqrt{6}+1)^2$.

Подставим это выражение во второй множитель:

$\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}} = \sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2}$

Упростим корень, сократив показатель корня и степень подкоренного выражения на 2:

$\sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2} = \sqrt{2\sqrt{6}+1}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt{2\sqrt{6}+1}$

Объединим множители под одним знаком квадратного корня:

$\sqrt{(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1)}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1) = (2\sqrt{6})^2 - 1^2 = 4 \cdot 6 - 1 = 24 - 1 = 23$

В результате получаем:

$\sqrt{23}$

Ответ: $\sqrt{23}$