Номер 12.27, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.27. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x;$

2) $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3};$

3) $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}.$

1) $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=4$, поэтому $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $y = |x| - 2x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - 2x = -x$.
Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат и точку (1, -1). Мы строим эту прямую только для $x \ge 0$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x - 2x = -3x$.
Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат и точку (-1, 3). Мы строим эту прямую только для $x < 0$.

График исходной функции состоит из двух лучей, выходящих из точки (0, 0).

Ответ: График функции представляет собой объединение двух лучей: луча $y = -x$ при $x \ge 0$ и луча $y = -3x$ при $x < 0$, с общим началом в точке (0, 0).

2) $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$

Найдем область определения функции. Так как корень четной степени (4-й), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$-x \ge 0 \implies x \le 0$
$-x^3 \ge 0 \implies x^3 \le 0 \implies x \le 0$
Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty, 0]$.

На этой области определения преобразуем выражение, используя свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ (для $a, b \ge 0$):
$y = \sqrt[4]{(-x) \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{x^4}$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:
$y = |x|$.

Так как область определения функции $x \le 0$, то на этой области $|x| = -x$.

Итак, функция имеет вид $y = -x$ при $x \le 0$.

Графиком этой функции является луч, выходящий из точки (0, 0) и проходящий через точку (-1, 1).

Ответ: График функции — это луч $y = -x$, расположенный во второй координатной четверти, с началом в точке (0, 0).

3) $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Упростим числитель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:
$\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x}{x} = 1$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-x}{x} = -1$.

График функции состоит из двух горизонтальных лучей. Точка $x=0$ не входит в область определения, поэтому на графике в этой точке будут "выколотые" точки.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча $y=1$ при $x > 0$ (с выколотой точкой (0, 1)) и луча $y=-1$ при $x < 0$ (с выколотой точкой (0, -1)).