gdz.top
Номер 12.32, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Степенная функция. Параграф 12. Свойства корня n-й степени - номер 12.32, страница 100.
№12.31
№12.32 (с. 100)
Условие. №12.32 (с. 100)
12.32. Упростите выражение
$(\sqrt[32]{2} + 1)(\sqrt[16]{2} + 1)(\sqrt[8]{2} + 1)(\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + 1).$
Решение. №12.32 (с. 100)
Для упрощения данного выражения воспользуемся методом замены переменной и формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Пусть $x = \sqrt[32]{2}$.
Тогда остальные множители, содержащие корень, можно выразить через $x$:
$\sqrt[16]{2} = (\sqrt[32]{2})^2 = x^2$
$\sqrt[8]{2} = (\sqrt[32]{2})^4 = x^4$
$\sqrt[4]{2} = (\sqrt[32]{2})^8 = x^8$
$\sqrt{2} = (\sqrt[32]{2})^{16} = x^{16}$
Исходное выражение, обозначим его $A$, можно переписать в виде:
$A = (x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$.
Это известная конструкция. Чтобы ее упростить, умножим и разделим выражение на $(x - 1)$. Это возможно, так как $x = \sqrt[32]{2} \neq 1$, а значит $x - 1 \neq 0$.
$A = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)}{x - 1}$.
Теперь последовательно применим формулу разности квадратов к числителю:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
Затем, результат умножаем на следующий множитель:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Продолжая этот процесс "сворачивания" выражения, получаем:
$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$.
$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$.
И, наконец:
$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1) = (x^{16})^2 - 1^2 = x^{32} - 1$.
Таким образом, весь числитель дроби равен $x^{32} - 1$.
Выражение для $A$ принимает вид:
$A = \frac{x^{32} - 1}{x - 1}$.
Теперь вернемся к исходной переменной. Мы ввели замену $x = \sqrt[32]{2}$, следовательно $x^{32} = (\sqrt[32]{2})^{32} = 2$.
Подставим это значение в выражение для $A$:
$A = \frac{2 - 1}{\sqrt[32]{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 12.32 расположенного на странице 100 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.32 (с. 100), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.