Номер 13.2, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.2. Чему равно значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}}$; 2) $10000^{\frac{1}{4}}$; 3) $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}$; 4) $0,125^{-\frac{2}{3}}$?

1) Чтобы найти значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $a=8, m=1, n=3$.

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8^1} = \sqrt[3]{8}$

Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Альтернативный способ — представить основание степени (8) в виде степени с показателем 3: $8 = 2^3$.

$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:

$2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

2) Чтобы найти значение выражения $10000^{\frac{1}{4}}$, нужно извлечь корень четвертой степени из 10000.

$10000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{10000}$

Представим число 10000 в виде степени числа 10. Поскольку в числе 10000 четыре нуля, то $10000 = 10^4$.

$10000^{\frac{1}{4}} = (10^4)^{\frac{1}{4}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$10^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 10^1 = 10$.

Ответ: 10.

3) Чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$, сначала преобразуем его, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Для дроби это свойство выглядит так: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{1})^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}$

Теперь вычислим $4^{\frac{3}{2}}$. По определению степени с рациональным показателем, это равно $(\sqrt{4})^3$.

$4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt[2]{4})^3 = 2^3 = 8$.

Также можно было представить 4 как $2^2$:

$4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8.

4) Чтобы найти значение выражения $0,125^{-\frac{2}{3}}$, первым шагом преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную.

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство отрицательной степени, чтобы избавиться от минуса в показателе:

$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{8}{1})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}$

Далее вычисляем значение $8^{\frac{2}{3}}$, извлекая кубический корень и возводя в квадрат:

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Альтернативный способ — представить 8 как $2^3$:

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4.