Номер 13.3, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.3. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{6}};$

2) $y = (x - 3)^{2.6};$

3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}.$

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$

Область определения степенной функции $y = f(x)^p$ с рациональным показателем $p = \frac{m}{n}$ (где дробь несократима) зависит от четности знаменателя $n$ и знака показателя $p$.

В данной функции $y = x^{\frac{5}{6}}$ основанием является $x$, а показатель степени $p = \frac{5}{6}$. Это положительное рациональное число, знаменатель которого $n=6$ — четное число.

Функцию можно представить в виде корня: $y = \sqrt[6]{x^5}$. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, должно выполняться условие:

$x^5 \ge 0$

Это неравенство равносильно неравенству $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $[0, +\infty)$.

2) $y = (x - 3)^{2,6}$

Сначала представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной несократимой дроби:

$2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$

Таким образом, функция имеет вид $y = (x - 3)^{\frac{13}{5}}$.

Основанием степени является выражение $(x-3)$, а показатель $p = \frac{13}{5}$ — положительное рациональное число, знаменатель которого $n=5$ — нечетное число.

Функцию можно представить как $y = \sqrt[5]{(x-3)^{13}}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $(x-3)^{13}$ определено для любого действительного числа $x$.

Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается, и область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}$

Показатель степени $p = -\frac{1}{9}$ является отрицательным рациональным числом. Отрицательная степень означает, что выражение можно записать в виде дроби:

$y = \frac{1}{(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}}}$

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Кроме того, показатель степени в знаменателе $\frac{1}{9}$ имеет нечетный знаменатель $n=9$. Это значит, что выражение $(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{x^2 - 6x - 7}$ определено для всех действительных значений подкоренного выражения $x^2 - 6x - 7$.

Единственное ограничение на область определения — это условие, что знаменатель не равен нулю:

$(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}} \neq 0$

Это равносильно тому, что основание степени не равно нулю:

$x^2 - 6x - 7 \neq 0$

Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

Таким образом, $x$ не может быть равен $7$ и $-1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме этих двух значений.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 7) \cup (7, +\infty)$.