Номер 13.4, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.4. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$;

2) $y = (x+1)^{\frac{7}{12}}$;

3) $y = (x^2-x-30)^{\frac{4}{15}}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Для степенной функции вида $y = (f(x))^r$, где $r$ — рациональное нецелое число, область определения зависит от основания $f(x)$ и знака показателя $r$:

• Если показатель $r$ положительный ($r > 0$), то основание должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.
• Если показатель $r$ отрицательный ($r < 0$), то основание должно быть строго положительным: $f(x) > 0$ (так как $y = \frac{1}{(f(x))^{-r}}$ и знаменатель не может быть равен нулю).

Применим эти правила для каждой из заданных функций.

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$

В данной функции основание степени — это $f(x) = x$. Показатель степени $r = -\frac{2}{3}$ является рациональным нецелым числом, и он отрицателен. Следовательно, для нахождения области определения необходимо, чтобы основание было строго положительным: $x > 0$. Область определения функции — это множество всех положительных действительных чисел.

Ответ: $(0; +\infty)$.

2) $y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}}$

Основание степени в этой функции — $f(x) = x + 1$. Показатель степени $r = -\frac{7}{12}$ — отрицательное рациональное нецелое число. Поэтому основание степени должно быть строго больше нуля: $f(x) > 0$. Подставляем выражение для основания и решаем неравенство: $x + 1 > 0$ $x > -1$. Область определения функции — это все действительные числа, большие -1.

Ответ: $(-1; +\infty)$.

3) $y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}$

Основание степени — $f(x) = x^2 - x - 30$. Показатель степени $r = \frac{4}{15}$ — положительное рациональное нецелое число. Следовательно, основание степени должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$. Решим квадратное неравенство: $x^2 - x - 30 \ge 0$. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 + x_2 = 1$ $x_1 \cdot x_2 = -30$ Отсюда $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$. Графиком функции $y = x^2 - x - 30$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, значения функции неотрицательны, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни). Таким образом, решение неравенства: $x \le -5$ или $x \ge 6$.

Ответ: $(-\infty; -5] \cup [6; +\infty)$.