Номер 12.21, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.21. Внесите множитель под знак корня:

1) $a^4\sqrt{2}$, если $a \ge 0$;

2) $mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}$;

3) $ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}$, если $a > 0, b < 0$;

4) $ab \sqrt[4]{ab^2}$, если $b \le 0$;

5) $b \sqrt[6]{6}$;

6) $a \sqrt[6]{-a}$.

1) Чтобы внести множитель $a$ под знак корня четвертой степени, нужно возвести его в четвертую степень. Так как по условию $a \geq 0$, множитель является неотрицательным, и при внесении его под знак корня четной степени знак перед корнем не меняется.
$a\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2a^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2a^4}$.

2) Область определения выражения требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $\frac{1}{m^3n^3} \geq 0$. Поскольку числитель 1 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $m^3n^3 > 0$, что эквивалентно $mn > 0$.
Так как множитель $mn$ является положительным, его можно внести под знак корня четной (четвертой) степени, возведя в эту степень. Знак перед корнем при этом не изменяется.
$mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{(mn)^4 \cdot \frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4n^4}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{m^{4-3}n^{4-3}} = \sqrt[4]{mn}$.
Ответ: $\sqrt[4]{mn}$.

3) Степень корня $n=6$ — четная. Множитель перед корнем равен $ab$. Согласно условию, $a > 0$ и $b < 0$, следовательно, их произведение $ab < 0$.
При внесении отрицательного множителя под знак корня четной степени, перед корнем необходимо поставить знак "минус", а под корень внести модуль этого множителя, возведенный в степень корня.
$ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{(-ab)^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{\frac{6a^6b^6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{6a^{6-3}b^{6-2}} = - \sqrt[6]{6a^3b^4}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{6a^3b^4}$.

4) Степень корня $n=4$ — четная. Выражение определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $ab^2 \geq 0$. Так как $b^2 \geq 0$ при любом $b$, это условие выполняется, если $a \geq 0$.
Множитель перед корнем равен $ab$. Учитывая, что $a \geq 0$ и по условию $b \leq 0$, произведение $ab \leq 0$ (является неположительным).
При внесении неположительного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус" (если множитель не равен нулю).
$ab\sqrt[4]{ab^2} = - \sqrt[4]{(-ab)^4 \cdot ab^2} = - \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot ab^2} = - \sqrt[4]{a^{4+1}b^{4+2}} = - \sqrt[4]{a^5b^6}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{a^5b^6}$.

5) Степень корня $n=6$ — четная. Знак множителя $b$ не задан, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
1. Если $b \geq 0$, то множитель неотрицательный, и он вносится под корень без изменения знака перед корнем:
$b\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = \sqrt[6]{6b^6}$.
2. Если $b < 0$, то множитель отрицательный. При внесении его под корень четной степени, перед корнем ставится знак "минус":
$b\sqrt[6]{6} = - \sqrt[6]{(-b)^6 \cdot 6} = - \sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = - \sqrt[6]{6b^6}$.
Ответ: $\sqrt[6]{6b^6}$, если $b \geq 0$; $-\sqrt[6]{6b^6}$, если $b < 0$.

6) Степень корня $n=6$ — четная. Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-a \geq 0$, что означает $a \leq 0$.
Множитель перед корнем равен $a$. Из области определения следует, что $a$ — неположительное число ($a \leq 0$).
При внесении неположительного множителя $a$ под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус" (если $a \ne 0$).
$a\sqrt[6]{-a} = - \sqrt[6]{(-a)^6 \cdot (-a)} = - \sqrt[6]{(-a)^{6+1}} = - \sqrt[6]{(-a)^7}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{(-a)^7}$.