Страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.13. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$;

2) $\sqrt[4]{(a-2)^4} = (\sqrt[4]{a-2})^4$;

3) $\sqrt[6]{a(a-1)} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{(1-a)}$;

4) $\sqrt[12]{a-2\sqrt[12]{3-a}} = \sqrt[12]{(2-a)(a-3)}$?

1) Равенство $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$.

Рассмотрим области определения левой и правой частей.
Левая часть $\sqrt[3]{(a-5)^4}$ определена для всех действительных чисел $a$, так как корень нечетной степени (кубический) извлекается из любого действительного числа, а выражение $(a-5)^4$ всегда неотрицательно.
Правая часть $(\sqrt[3]{a-5})^4$ также определена для всех действительных чисел $a$, так как выражение под корнем нечетной степени $a-5$ может быть любым действительным числом.
Тождество $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ выполняется для всех $x$, для которых определена правая часть. Поскольку для нечетного $n=3$ правая часть определена для любого действительного $a$, то равенство выполняется для всех действительных значений $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

2) Равенство $\sqrt[4]{(a-2)^4} = (\sqrt[4]{a-2})^4$.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $\sqrt[4]{(a-2)^4}$. По свойству корня четной степени $\sqrt[n]{x^n}=|x|$ для четного $n$, имеем $\sqrt[4]{(a-2)^4} = |a-2|$. Это выражение определено для любого действительного $a$.
Рассмотрим правую часть (ПЧ): $(\sqrt[4]{a-2})^4$. Это выражение определено только в том случае, если выражение под корнем четной степени неотрицательно, то есть $a-2 \ge 0$, откуда $a \ge 2$. При этом условии $(\sqrt[4]{a-2})^4 = a-2$.
Исходное равенство принимает вид $|a-2| = a-2$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $a-2 \ge 0$, что означает $a \ge 2$. Это условие совпадает с областью определения правой части.
Ответ: $a \in [2; +\infty)$.

3) Равенство $\sqrt[6]{a(a-1)} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{1-a}$.

Найдем область определения для каждой части равенства.
Для левой части $\sqrt[6]{a(a-1)}$ должно выполняться условие $a(a-1) \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $a \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.
Для правой части $\sqrt[6]{a}\sqrt[6]{1-a}$ должны одновременно выполняться два условия: $a \ge 0$ и $1-a \ge 0$. Решая систему, получаем $a \ge 0$ и $a \le 1$, то есть $a \in [0; 1]$.
Равенство может выполняться только для тех значений $a$, которые принадлежат пересечению областей определения обеих частей. Пересечением множеств $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$ и $[0; 1]$ являются только две точки: $a=0$ и $a=1$.
Проверим эти значения:
При $a=0$: $\sqrt[6]{0(0-1)} = 0$ и $\sqrt[6]{0}\sqrt[6]{1-0} = 0 \cdot 1 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
При $a=1$: $\sqrt[6]{1(1-1)} = 0$ и $\sqrt[6]{1}\sqrt[6]{1-1} = 1 \cdot 0 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Следовательно, равенство выполняется только при $a=0$ и $a=1$.
Ответ: $a \in \{0, 1\}$.

4) Равенство $\sqrt[12]{a-2}\sqrt[12]{3-a} = \sqrt[12]{(2-a)(a-3)}$.

Найдем область определения для каждой части равенства.
Для левой части $\sqrt[12]{a-2}\sqrt[12]{3-a}$ должны одновременно выполняться условия $a-2 \ge 0$ и $3-a \ge 0$. Отсюда $a \ge 2$ и $a \le 3$, то есть $a \in [2; 3]$. На этой области левую часть можно записать как $\sqrt[12]{(a-2)(3-a)}$.
Для правой части $\sqrt[12]{(2-a)(a-3)}$ должно выполняться условие $(2-a)(a-3) \ge 0$. Это неравенство равносильно неравенству $(a-2)(a-3) \le 0$, решением которого является отрезок $a \in [2; 3]$.
Области определения обеих частей совпадают: $a \in [2; 3]$.
Теперь преобразуем выражение под корнем в правой части: $(2-a)(a-3) = -(a-2) \cdot (-(3-a)) = (a-2)(3-a)$.
Таким образом, на общей области определения $a \in [2; 3]$ равенство принимает вид $\sqrt[12]{(a-2)(3-a)} = \sqrt[12]{(a-2)(3-a)}$, что является тождеством.
Следовательно, равенство выполняется для всех $a$ из области определения.
Ответ: $a \in [2; 3]$.

12.14. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$;

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$;

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$;

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$ ?

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$

Левая часть равенства преобразуется с использованием свойства корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$.
Таким образом, исходное равенство принимает вид: $|a^5| = a^5$.
Равенство вида $|x| = x$ истинно только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $x \ge 0$.
В нашем случае это означает, что $a^5 \ge 0$.
Неравенство $a^5 \ge 0$ выполняется при $a \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$.

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$

Аналогично предыдущему пункту, левая часть равна $|a^5|$.
Получаем равенство: $|a^5| = -a^5$.
Равенство вида $|x| = -x$ истинно только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $x \le 0$.
В нашем случае это означает, что $a^5 \le 0$.
Неравенство $a^5 \le 0$ выполняется при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$.
Левая часть $\sqrt[4]{a^4}$ определена для любого действительного $a$.
Правая часть $(\sqrt[4]{a})^4$ определена только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \ge 0$.
Теперь упростим обе части на этой области:
Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Поскольку $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Правая часть: $(\sqrt[4]{a})^4 = a$.
Получаем тождество $a = a$, которое верно для всех $a$ из ОДЗ.
Ответ: $a \ge 0$.

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$

Определим область допустимых значений.
Левая часть $\sqrt[4]{a^4}$ определена для любого действительного $a$.
Правая часть $(\sqrt[4]{-a})^4$ определена только при $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.
Таким образом, ОДЗ для всего равенства: $a \le 0$.
Упростим обе части на этой области:
Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Поскольку $a \le 0$, то $|a| = -a$.
Правая часть: $(\sqrt[4]{-a})^4 = -a$.
Получаем тождество $-a = -a$, которое верно для всех $a$ из ОДЗ.
Ответ: $a \le 0$.

12.15. При каких значениях a и b выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

2) $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

3) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$

1) $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

Равенство содержит корни четной степени (корень 4-й степени). Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

Для левой части равенства, $\sqrt[4]{ab}$, должно выполняться условие $ab \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть одного знака, либо одно из них (или оба) равно нулю. То есть, ($a \ge 0$ и $b \ge 0$) или ($a \le 0$ и $b \le 0$).

Для правой части равенства, $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$, должны быть определены оба корня. Для $\sqrt[4]{-a}$ должно выполняться условие $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$. Для $\sqrt[4]{-b}$ должно выполняться условие $-b \ge 0$, что эквивалентно $b \le 0$.

Чтобы все выражение имело смысл, должны выполняться все условия одновременно. Объединяя условия для левой и правой частей, получаем, что единственно возможным случаем является $a \le 0$ и $b \le 0$. При этих условиях $ab \ge 0$, поэтому все выражения определены.

Проверим, выполняется ли само равенство при $a \le 0$ и $b \le 0$. В этом случае $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$. По свойству корня из произведения для неотрицательных чисел: $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{ab}$.

Равенство выполняется.

Ответ: $a \le 0$, $b \le 0$.

2) $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

Аналогично первому пункту, все подкоренные выражения для корней 4-й степени должны быть неотрицательными.

Для левой части, $\sqrt[4]{-ab}$, должно выполняться условие $-ab \ge 0$, что эквивалентно $ab \le 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть разных знаков, либо одно из них (или оба) равно нулю.

Для правой части, $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$, должны быть определены оба корня. Для $\sqrt[4]{a}$ должно выполняться условие $a \ge 0$. Для $\sqrt[4]{-b}$ должно выполняться условие $-b \ge 0$, то есть $b \le 0$.

Совмещая все условия, получаем систему: $ab \le 0$, $a \ge 0$, $b \le 0$. Условия $a \ge 0$ и $b \le 0$ полностью определяют область допустимых значений, так как из них автоматически следует, что $ab \le 0$.

Проверим равенство при этих условиях. Если $a \ge 0$ и $b \le 0$, то $-b \ge 0$. Используя свойство корня из произведения для неотрицательных чисел: $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{a(-b)} = \sqrt[4]{-ab}$.

Равенство выполняется.

Ответ: $a \ge 0$, $b \le 0$.

3) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$

В данном равенстве используются корни нечетной степени (корень 5-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Поэтому левая и правая части равенства определены при любых действительных значениях $a$ и $b$.

Проверим само равенство. Для корней нечетной степени свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ выполняется для любых действительных чисел $x$ и $y$.

Преобразуем правую часть равенства: $\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{(-a)(-b)} = \sqrt[5]{ab}$.

Полученное выражение совпадает с левой частью равенства. Следовательно, равенство является тождеством и выполняется при любых действительных значениях $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

12.16. При каких значениях $x$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2};$

2) $\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x}?$

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x-2} \cdot \sqrt[4]{x+2}$

Данное равенство основано на свойстве корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Поскольку корень четной степени (в данном случае 4-й степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, равенство будет выполняться только в том случае, когда выражения под каждым знаком корня в правой части уравнения неотрицательны. Это также гарантирует, что и подкоренное выражение в левой части ($x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$) будет неотрицательным.

Таким образом, необходимо найти значения $x$, для которых одновременно выполняются следующие условия:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Общим решением системы является пересечение этих двух условий, что соответствует $x \ge 2$.

Следовательно, равенство выполняется при $x \in [2, +\infty)$.

Ответ: $x \ge 2$.

2) $\sqrt[8]{(x-3)(7-x)} = \sqrt[8]{x-3} \cdot \sqrt[8]{7-x}$

Аналогично первому пункту, равенство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для корня четной степени (в данном случае 8-й степени) справедливо только тогда, когда оба множителя под корнями в правой части неотрицательны.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$

2. $7 - x \ge 0 \implies 7 \ge x \implies x \le 7$

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $3 \le x \le 7$.

При этих значениях $x$ подкоренное выражение в левой части, $(x-3)(7-x)$, также будет неотрицательным, так как является произведением двух неотрицательных множителей. Следовательно, левая часть определена, и равенство выполняется.

Ответ: $3 \le x \le 7$.

12.17. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{256k^8}$, если $k \le 0$;

2) $\sqrt[6]{c^{24}};$

3) $\sqrt[4]{81x^8y^4}$, если $y \ge 0$;

4) $-1,2x\sqrt[6]{64x^{30}}$, если $x \le 0$.

1) Упростим выражение $\sqrt[8]{256k^8}$, если $k \le 0$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Число 256 можно представить как $2^8$. Тогда выражение примет вид:$\sqrt[8]{256k^8} = \sqrt[8]{2^8 k^8} = \sqrt[8]{(2k)^8}$.

Воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=4$, поэтому:$\sqrt[8]{(2k)^8} = |2k|$.

Теперь раскроем модуль, учитывая заданное условие $k \le 0$. Если $k$ — не положительное число, то и произведение $2k$ также не является положительным ($2k \le 0$).По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$. Следовательно, $|2k| = -2k$.

Ответ: $-2k$

2) Упростим выражение $\sqrt[6]{c^{24}}$.

Представим подкоренное выражение $c^{24}$ как степень с показателем 6, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:$c^{24} = c^{4 \cdot 6} = (c^4)^6$.

Теперь подставим это в исходное выражение:$\sqrt[6]{c^{24}} = \sqrt[6]{(c^4)^6}$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.$\sqrt[6]{(c^4)^6} = |c^4|$.

Так как показатель степени 4 является четным числом, выражение $c^4$ всегда будет неотрицательным при любом действительном значении $c$ ($c^4 \ge 0$). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|c^4| = c^4$.

Ответ: $c^4$

3) Упростим выражение $\sqrt[4]{81x^8y^4}$, если $y \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение, представив каждый множитель в виде степени с показателем 4:$81 = 3^4$;$x^8 = x^{2 \cdot 4} = (x^2)^4$;$y^4$ уже в нужной форме.

Подставим эти выражения под корень:$\sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{3^4(x^2)^4y^4} = \sqrt[4]{(3x^2y)^4}$.

Применим свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:$\sqrt[4]{(3x^2y)^4} = |3x^2y|$.

Раскроем модуль, анализируя знак выражения $3x^2y$:- $3$ — положительное число.- $x^2$ — неотрицательное число при любом $x$ ($x^2 \ge 0$).- По условию $y \ge 0$. Произведение неотрицательных сомножителей является неотрицательным числом, то есть $3x^2y \ge 0$. Следовательно, $|3x^2y| = 3x^2y$.

Ответ: $3x^2y$

4) Упростим выражение $-1,2x^6\sqrt[6]{64x^{30}}$, если $x \le 0$.

Сначала упростим корень $\sqrt[6]{64x^{30}}$. Для этого представим подкоренное выражение в виде степени с показателем 6:$64 = 2^6$;$x^{30} = x^{5 \cdot 6} = (x^5)^6$.

Подставим в корень:$\sqrt[6]{64x^{30}} = \sqrt[6]{2^6(x^5)^6} = \sqrt[6]{(2x^5)^6}$.

По свойству $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ получаем:$\sqrt[6]{(2x^5)^6} = |2x^5|$.

Теперь раскроем модуль с учетом условия $x \le 0$. Поскольку $x \le 0$, а 5 — нечетная степень, то $x^5 \le 0$. Следовательно, произведение $2x^5$ также является не положительным ($2x^5 \le 0$).По определению модуля, $|2x^5| = -(2x^5) = -2x^5$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:$-1,2x^6 \cdot (-2x^5)$.

Выполним умножение:$(-1,2) \cdot (-2) \cdot x^6 \cdot x^5 = 2,4 \cdot x^{6+5} = 2,4x^{11}$.

Ответ: $2,4x^{11}$

12.18. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{625a^{24}};$

2) $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$, если $b \ge 0;

3) $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$, если $p \ge 0;

4) $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$, если $m \le 0, n \le 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{625a^{24}}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).

Представим подкоренное выражение в виде произведения: $\sqrt[4]{625 \cdot a^{24}} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{a^{24}}$.

Найдем корень четвертой степени из каждого множителя:

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Для второго множителя воспользуемся свойством $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$. В нашем случае $\sqrt[4]{a^{24}} = \sqrt[4]{(a^6)^4} = |a^6|$.

Поскольку показатель степени $6$ является четным числом, выражение $a^6$ всегда будет неотрицательным ($a^6 \ge 0$) при любом действительном значении $a$. Следовательно, $|a^6| = a^6$.

Объединяем результаты: $5 \cdot a^6 = 5a^6$.

Ответ: $5a^6$.

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$ при условии $b \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt[4]{0,0001 \cdot b^{20}} = \sqrt[4]{0,0001} \cdot \sqrt[4]{b^{20}}$.

Вычислим корень из каждого множителя:

$\sqrt[4]{0,0001} = \sqrt[4]{(0,1)^4} = 0,1$.

При извлечении корня четной степени воспользуемся формулой $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[4]{b^{20}} = \sqrt[4]{(b^5)^4} = |b^5|$.

По условию задачи $b \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и сама степень $b^5$ будет неотрицательной ($b^5 \ge 0$). Следовательно, модуль можно опустить: $|b^5| = b^5$.

Перемножим полученные результаты: $0,1 \cdot b^5 = 0,1b^5$.

Ответ: $0,1b^5$.

3) Упростим выражение $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$ при условии $p \ge 0$.

Используя свойство корня из произведения, получим: $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}} = \sqrt[10]{p^{30}} \cdot \sqrt[10]{q^{40}}$.

Поскольку показатель корня $10$ является четным числом, применим правило $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[10]{p^{30}} = \sqrt[10]{(p^3)^{10}} = |p^3|$.

$\sqrt[10]{q^{40}} = \sqrt[10]{(q^4)^{10}} = |q^4|$.

Теперь раскроем модули с учетом условий. По условию $p \ge 0$, следовательно, $p^3 \ge 0$, и $|p^3| = p^3$.

Выражение $q^4$ всегда неотрицательно, так как $q$ возводится в четную степень. Поэтому $|q^4| = q^4$.

Итоговое выражение: $p^3 \cdot q^4 = p^3q^4$.

Ответ: $p^3q^4$.

4) Упростим выражение $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$ при условии $m \le 0, n \le 0$.

Применяем свойство корня из произведения: $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}} = \sqrt[12]{m^{36}} \cdot \sqrt[12]{n^{60}}$.

Показатель корня $12$ — четное число. Используем правило $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[12]{m^{36}} = \sqrt[12]{(m^3)^{12}} = |m^3|$.

$\sqrt[12]{n^{60}} = \sqrt[12]{(n^5)^{12}} = |n^5|$.

Теперь раскроем модули, учитывая заданные условия $m \le 0$ и $n \le 0$.

Если $m \le 0$, то $m^3 \le 0$. Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|m^3| = -m^3$.

Аналогично, если $n \le 0$, то $n^5 \le 0$. Поэтому $|n^5| = -n^5$.

Перемножим полученные выражения: $(-m^3) \cdot (-n^5) = m^3n^5$.

Ответ: $m^3n^5$.

12.19. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{-m^9}$;

2) $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$;

3) $\sqrt[4]{a^8b^{13}}$, если $a > 0$;

4) $\sqrt[6]{x^6y^7}$, если $x \neq 0$;

5) $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$;

6) $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$.

1) Для выражения $\sqrt[4]{-m^9}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четной степени. Условие $-m^9 \ge 0$ эквивалентно $m^9 \le 0$, что выполняется при $m \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны 4:
$\sqrt[4]{-m^9} = \sqrt[4]{m^8 \cdot (-m)} = \sqrt[4]{(m^2)^4 \cdot (-m)}$
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{-m} = |m^2|\sqrt[4]{-m}$
Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2| = m^2$.
Таким образом, получаем $m^2\sqrt[4]{-m}$.
Ответ: $m^2\sqrt[4]{-m}$

2) Для выражения $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $32m^{18}n^{17} \ge 0$. Так как $32 > 0$ и $m^{18} \ge 0$ для любого $m$, то условие сводится к $n^{17} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы степени были кратны 4:
$32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$
$m^{18} = m^{16} \cdot m^2 = (m^4)^4 \cdot m^2$
$n^{17} = n^{16} \cdot n = (n^4)^4 \cdot n$
$\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot m^{16} \cdot n^{16} \cdot 2m^2n} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (m^4)^4 \cdot (n^4)^4 \cdot 2m^2n}$
Выносим множители:
$|2| \cdot |m^4| \cdot |n^4| \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$ (поскольку $m^4 \ge 0$ и $n^4 \ge 0$).
Ответ: $2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$

3) Для выражения $\sqrt[4]{a^8b^{13}}$ при условии $a > 0$, подкоренное выражение $a^8b^{13}$ должно быть неотрицательным. Так как $a > 0$, то $a^8 > 0$. Следовательно, $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[4]{a^8b^{13}} = \sqrt[4]{a^8 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt[4]{(a^2)^4 \cdot (b^3)^4 \cdot b}$
Выносим множители:
$|a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{b}$
Так как $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$. Так как $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$, и $|b^3| = b^3$.
Получаем $a^2b^3\sqrt[4]{b}$.
Ответ: $a^2b^3\sqrt[4]{b}$

4) Для выражения $\sqrt[6]{x^6y^7}$ при условии $x \ne 0$, подкоренное выражение $x^6y^7$ должно быть неотрицательным. Так как $x \ne 0$, то $x^6 > 0$. Следовательно, $y^7 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[6]{x^6y^7} = \sqrt[6]{x^6 \cdot y^6 \cdot y}$
Выносим множители:
$\sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y}$
Так как $y \ge 0$, то $|y| = y$.
Получаем $|x|y\sqrt[6]{y}$.
Ответ: $|x|y\sqrt[6]{y}$

5) Для выражения $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$, подкоренное выражение $a^{15}b^{15} = (ab)^{15}$ должно быть неотрицательным. Это условие выполняется, когда $ab \ge 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \sqrt[4]{a^{12}a^3 \cdot b^{12}b^3} = \sqrt[4]{(a^3)^4 (b^3)^4 \cdot a^3b^3}$
Выносим множители:
$|a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{a^3b^3} = |a^3b^3|\sqrt[4]{a^3b^3}$
Поскольку $ab \ge 0$, то $(ab)^3 = a^3b^3 \ge 0$. Следовательно, $|a^3b^3| = a^3b^3$.
Получаем $a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$.
Ответ: $a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$

6) Для выражения $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$, подкоренное выражение $-a^{25}b^{50}$ должно быть неотрицательным. Так как $b^{50} = (b^{25})^2 \ge 0$ для любого $b$, условие сводится к $-a^{25} \ge 0$, то есть $a^{25} \le 0$, что означает $a \le 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} = \sqrt[8]{-a \cdot a^{24} \cdot b^{48} \cdot b^2} = \sqrt[8]{(a^3)^8 \cdot (b^6)^8 \cdot (-ab^2)}$
Выносим множители:
$|a^3| \cdot |b^6| \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$
Так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, и $|a^3| = -a^3$.
Так как $b^6 \ge 0$ для любого $b$, то $|b^6| = b^6$.
Получаем $(-a^3)b^6\sqrt[8]{-ab^2} = -a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$.
Ответ: $-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$

12.20. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{32a^6}$, если $a \le 0$;

2) $\sqrt[4]{-625a^5}$;

3) $\sqrt[6]{a^7b^7}$, если $a < 0, b < 0$;

4) $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$, если $a > 0$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[4]{32a^6} $ при условии $ a \le 0 $, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, степени которых кратны 4.
Число 32 можно представить как $ 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2 $.
Степень переменной $ a^6 $ можно представить как $ a^4 \cdot a^2 $.
Тогда выражение принимает вид:
$ \sqrt[4]{32a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot a^4) \cdot 2a^2} = \sqrt[4]{(2a)^4 \cdot 2a^2} $
Используя свойство корня четной степени $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ (где n - четное), получаем:
$ |2a| \sqrt[4]{2a^2} $
Согласно условию, $ a \le 0 $, следовательно, выражение $ 2a $ также является неположительным ($ 2a \le 0 $). Поэтому модуль раскрывается с противоположным знаком: $ |2a| = -2a $.
Окончательный результат:
$ -2a \sqrt[4]{2a^2} $
Ответ: $ -2a \sqrt[4]{2a^2} $

2) Для выражения $ \sqrt[4]{-625a^5} $ необходимо сначала определить область допустимых значений. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений, поэтому должно выполняться условие $ -625a^5 \ge 0 $. Так как -625 — отрицательное число, это неравенство верно только если $ a^5 \le 0 $, что означает $ a \le 0 $.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$ -625a^5 = 625 \cdot (-a^5) = 5^4 \cdot (-a)^5 $, так как $ (-a)^5 = -a^5 $.
Представим $ (-a)^5 $ как $ (-a)^4 \cdot (-a) $.
$ \sqrt[4]{-625a^5} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^4 \cdot (-a)} = \sqrt[4]{(5(-a))^4 \cdot (-a)} $
Выносим множитель из-под знака корня:
$ |5(-a)| \sqrt[4]{-a} $
Поскольку мы установили, что $ a \le 0 $, то $ -a \ge 0 $. Значит, выражение $ 5(-a) $ неотрицательно, и его модуль равен самому выражению: $ |5(-a)| = 5(-a) = -5a $.
Итоговый результат:
$ -5a\sqrt[4]{-a} $
Ответ: $ -5a\sqrt[4]{-a} $

3) В выражении $ \sqrt[6]{a^7b^7} $ при условии $ a < 0, b < 0 $ подкоренное выражение $ a^7b^7 = (ab)^7 $. Для существования корня четной степени необходимо, чтобы $ (ab)^7 \ge 0 $, что равносильно $ ab \ge 0 $. По условию $ a < 0 $ и $ b < 0 $, их произведение $ ab $ положительно, так что выражение определено.
Представим подкоренное выражение в виде множителей со степенями, кратными 6:
$ a^7b^7 = (ab)^7 = (ab)^6 \cdot ab $
Теперь извлечем корень:
$ \sqrt[6]{(ab)^6 \cdot ab} = |ab| \sqrt[6]{ab} $
Поскольку $ a < 0 $ и $ b < 0 $, их произведение $ ab > 0 $. Следовательно, $ |ab| = ab $.
Окончательный вид выражения:
$ ab\sqrt[6]{ab} $
Ответ: $ ab\sqrt[6]{ab} $

4) В выражении $ \sqrt[6]{a^{20}b^{19}} $ при условии $ a > 0 $, подкоренное выражение $ a^{20}b^{19} $ должно быть неотрицательным. Так как $ a > 0 $, то $ a^{20} > 0 $. Следовательно, неравенство $ a^{20}b^{19} \ge 0 $ выполняется, если $ b^{19} \ge 0 $, что означает $ b \ge 0 $.
Разложим степени переменных так, чтобы выделить множители со степенями, кратными 6:
$ a^{20} = a^{18} \cdot a^2 = (a^3)^6 \cdot a^2 $
$ b^{19} = b^{18} \cdot b = (b^3)^6 \cdot b $
Подставим разложение в исходное выражение:
$ \sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \sqrt[6]{(a^{18} \cdot b^{18}) \cdot (a^2 \cdot b)} = \sqrt[6]{(a^3b^3)^6 \cdot a^2b} $
Выносим множитель из-под знака корня:
$ |a^3b^3| \sqrt[6]{a^2b} $
Проанализируем знак выражения в модуле. По условию $ a > 0 $ и, как мы выяснили, $ b \ge 0 $. Это означает, что $ a^3 > 0 $ и $ b^3 \ge 0 $. Их произведение $ a^3b^3 \ge 0 $, поэтому $ |a^3b^3| = a^3b^3 $.
Получаем окончательный результат:
$ a^3b^3\sqrt[6]{a^2b} $
Ответ: $ a^3b^3\sqrt[6]{a^2b} $

12.21. Внесите множитель под знак корня:

1) $a^4\sqrt{2}$, если $a \ge 0$;

2) $mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}$;

3) $ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}$, если $a > 0, b < 0$;

4) $ab \sqrt[4]{ab^2}$, если $b \le 0$;

5) $b \sqrt[6]{6}$;

6) $a \sqrt[6]{-a}$.

1) Чтобы внести множитель $a$ под знак корня четвертой степени, нужно возвести его в четвертую степень. Так как по условию $a \geq 0$, множитель является неотрицательным, и при внесении его под знак корня четной степени знак перед корнем не меняется.
$a\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2a^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2a^4}$.

2) Область определения выражения требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $\frac{1}{m^3n^3} \geq 0$. Поскольку числитель 1 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $m^3n^3 > 0$, что эквивалентно $mn > 0$.
Так как множитель $mn$ является положительным, его можно внести под знак корня четной (четвертой) степени, возведя в эту степень. Знак перед корнем при этом не изменяется.
$mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{(mn)^4 \cdot \frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4n^4}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{m^{4-3}n^{4-3}} = \sqrt[4]{mn}$.
Ответ: $\sqrt[4]{mn}$.

3) Степень корня $n=6$ — четная. Множитель перед корнем равен $ab$. Согласно условию, $a > 0$ и $b < 0$, следовательно, их произведение $ab < 0$.
При внесении отрицательного множителя под знак корня четной степени, перед корнем необходимо поставить знак "минус", а под корень внести модуль этого множителя, возведенный в степень корня.
$ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{(-ab)^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{\frac{6a^6b^6}{a^3b^2}} = - \sqrt[6]{6a^{6-3}b^{6-2}} = - \sqrt[6]{6a^3b^4}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{6a^3b^4}$.

4) Степень корня $n=4$ — четная. Выражение определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $ab^2 \geq 0$. Так как $b^2 \geq 0$ при любом $b$, это условие выполняется, если $a \geq 0$.
Множитель перед корнем равен $ab$. Учитывая, что $a \geq 0$ и по условию $b \leq 0$, произведение $ab \leq 0$ (является неположительным).
При внесении неположительного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус" (если множитель не равен нулю).
$ab\sqrt[4]{ab^2} = - \sqrt[4]{(-ab)^4 \cdot ab^2} = - \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot ab^2} = - \sqrt[4]{a^{4+1}b^{4+2}} = - \sqrt[4]{a^5b^6}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{a^5b^6}$.

5) Степень корня $n=6$ — четная. Знак множителя $b$ не задан, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
1. Если $b \geq 0$, то множитель неотрицательный, и он вносится под корень без изменения знака перед корнем:
$b\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = \sqrt[6]{6b^6}$.
2. Если $b < 0$, то множитель отрицательный. При внесении его под корень четной степени, перед корнем ставится знак "минус":
$b\sqrt[6]{6} = - \sqrt[6]{(-b)^6 \cdot 6} = - \sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = - \sqrt[6]{6b^6}$.
Ответ: $\sqrt[6]{6b^6}$, если $b \geq 0$; $-\sqrt[6]{6b^6}$, если $b < 0$.

6) Степень корня $n=6$ — четная. Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-a \geq 0$, что означает $a \leq 0$.
Множитель перед корнем равен $a$. Из области определения следует, что $a$ — неположительное число ($a \leq 0$).
При внесении неположительного множителя $a$ под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус" (если $a \ne 0$).
$a\sqrt[6]{-a} = - \sqrt[6]{(-a)^6 \cdot (-a)} = - \sqrt[6]{(-a)^{6+1}} = - \sqrt[6]{(-a)^7}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{(-a)^7}$.

12.22. Внесите множитель под знак корня:

1) $c \sqrt[8]{3}$, если $c \le 0$;

2) $a^6 \sqrt{a}$;

3) $ab \sqrt[8]{\frac{3}{a^4 b^5}}$, если $a < 0$;

4) $a \sqrt[4]{-a^3}$.

1) Чтобы внести множитель $c$ под знак корня в выражении $c\sqrt[8]{3}$, необходимо учесть условие $c \le 0$. Показатель корня 8 является четным числом. Для внесения отрицательного множителя ($m < 0$) под знак корня четной степени ($2n$) используется правило $m\sqrt[2n]{x} = -\sqrt[2n]{m^{2n}x}$.
Если $c < 0$, то множитель $c$ отрицательный. Применяя правило, получаем:
$c\sqrt[8]{3} = -\sqrt[8]{(c)^8 \cdot 3} = -\sqrt[8]{3c^8}$.
Если $c = 0$, то $0 \cdot \sqrt[8]{3} = 0$, и $-\sqrt[8]{3 \cdot 0^8} = 0$. Таким образом, формула верна для всех $c \le 0$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3c^8}$.

2) В выражении $a^6\sqrt[6]{a}$ нужно внести множитель $a^6$ под знак корня. Показатель корня 6 — четное число. Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.
Множитель $a^6$ всегда неотрицателен ($a^6 \ge 0$), так как любое число в четной степени неотрицательно.
Для внесения неотрицательного множителя $m$ под знак корня степени $n$ используется правило $m\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{m^n x}$.
Вносим $a^6$ под корень, возведя его в 6-ю степень:
$a^6\sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{(a^6)^6 \cdot a} = \sqrt[6]{a^{36} \cdot a^1} = \sqrt[6]{a^{37}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^{37}}$.

3) В выражении $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}}$ необходимо внести множитель $ab$ под знак корня при условии $a < 0$.
Показатель корня 8 — четное число, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{3}{a^4b^5} \ge 0$.
Поскольку $3 > 0$ и $a^4 > 0$ (так как $a \ne 0$), это условие выполняется, если $b^5 > 0$, что означает $b > 0$.
Определим знак множителя $ab$. По условию $a < 0$ и мы выяснили, что $b > 0$. Следовательно, их произведение $ab$ отрицательно ($ab < 0$).
Так как множитель отрицательный, а показатель корня четный, используем правило $m\sqrt[2n]{x} = -\sqrt[2n]{m^{2n}x}$.
$ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{(ab)^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{\frac{a^8b^8 \cdot 3}{a^4b^5}}$.
Упростим выражение под корнем:
$\frac{3a^8b^8}{a^4b^5} = 3a^{8-4}b^{8-5} = 3a^4b^3$.
В результате получаем: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.

4) В выражении $a^4\sqrt[4]{-a^3}$ нужно внести множитель $a^4$ под знак корня.
Показатель корня 4 — четное число. Область определения выражения требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $-a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a^3 \le 0$, и следовательно, $a \le 0$.
Множитель $a^4$ является неотрицательным для любого действительного $a$, так как он возведен в четную степень ($a^4 \ge 0$).
Поскольку множитель неотрицательный, мы можем внести его под корень, возведя в степень, равную показателю корня:
$a^4\sqrt[4]{-a^3} = \sqrt[4]{(a^4)^4 \cdot (-a^3)} = \sqrt[4]{a^{16} \cdot (-a^3)} = \sqrt[4]{-a^{16+3}} = \sqrt[4]{-a^{19}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{-a^{19}}$.