Страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.15. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[6]{\frac{|x|-4}{x^2-36}}$;2) $\sqrt[10]{|x|-3} - \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$

1)

Область определения выражения $ \sqrt[6]{\frac{|x| - 4}{x^2 - 36}} $ задается условием, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае, степени 6) должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$$ \frac{|x| - 4}{x^2 - 36} \ge 0 $$

Это неравенство уже включает в себя условие, что знаменатель не равен нулю ($x^2 - 36 \ne 0$), так как на ноль делить нельзя. Решим данное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя:

$ |x| - 4 = 0 \implies |x| = 4 \implies x_1 = -4, x_2 = 4 $. Эти точки могут входить в решение, так как неравенство нестрогое.

2. Найдем нули знаменателя:

$ x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x_3 = -6, x_4 = 6 $. Эти точки не входят в решение (выколотые точки), так как они обращают знаменатель в ноль.

3. Отметим все найденные точки на числовой оси: -6, -4, 4, 6. Они разбивают ось на пять интервалов. Определим знак выражения $ \frac{|x| - 4}{x^2 - 36} $ в каждом интервале.

• При $ x \in (-\infty, -6) $, например $ x = -7 $: $ \frac{|-7| - 4}{(-7)^2 - 36} = \frac{7 - 4}{49 - 36} = \frac{3}{13} > 0 $.
• При $ x \in (-6, -4) $, например $ x = -5 $: $ \frac{|-5| - 4}{(-5)^2 - 36} = \frac{5 - 4}{25 - 36} = \frac{1}{-11} < 0 $.
• При $ x \in (-4, 4) $, например $ x = 0 $: $ \frac{|0| - 4}{0^2 - 36} = \frac{-4}{-36} = \frac{1}{9} > 0 $.
• При $ x \in (4, 6) $, например $ x = 5 $: $ \frac{|5| - 4}{5^2 - 36} = \frac{5 - 4}{25 - 36} = \frac{1}{-11} < 0 $.
• При $ x \in (6, +\infty) $, например $ x = 7 $: $ \frac{|7| - 4}{7^2 - 36} = \frac{7 - 4}{49 - 36} = \frac{3}{13} > 0 $.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $ (-\infty, -6) $, $ (-4, 4) $ и $ (6, +\infty) $. Включаем в решение нули числителя ($x=-4$ и $x=4$).

Таким образом, область определения выражения — это объединение полученных промежутков.

Ответ: $ (-\infty, -6) \cup [-4, 4] \cup (6, +\infty) $.

2)

Область определения выражения $ \sqrt[10]{|x| - 3} - \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} $ является пересечением областей определения каждого из двух слагаемых.

1. Для первого слагаемого $ \sqrt[10]{|x| - 3} $ подкоренное выражение корня четной степени (степени 10) должно быть неотрицательным:

$ |x| - 3 \ge 0 $

$ |x| \ge 3 $

Это неравенство равносильно совокупности $ x \ge 3 $ или $ x \le -3 $. В виде промежутков это записывается как $ (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) $.

2. Для второго слагаемого $ \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} $ подкоренное выражение корня четной степени (степени 4) должно быть неотрицательным. Но так как корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$ x + 4 > 0 $

$ x > -4 $

В виде промежутка это записывается как $ (-4, +\infty) $.

3. Чтобы найти общую область определения, необходимо найти пересечение полученных множеств решений:

$ ( (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) ) \cap (-4, +\infty) $

Найдем пересечение для каждого из промежутков в объединении:

• Пересечение $ (-\infty, -3] $ и $ (-4, +\infty) $ дает промежуток $ (-4, -3] $.
• Пересечение $ [3, +\infty) $ и $ (-4, +\infty) $ дает промежуток $ [3, +\infty) $.

Объединяя эти два результата, получаем итоговую область определения.

Ответ: $ (-4, -3] \cup [3, +\infty) $.

11.16. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0$;

2) $(x-1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$.

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Следовательно, данное уравнение равносильно системе, в которой совокупность уравнений решается с учетом области допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения для корня четной степени:

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Уравнение распадается на два случая:

1. $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

2. $\sqrt[4]{x + 1} = 0$

$x + 1 = 0$

$x_3 = -1$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -1$):

• Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge -1$, значит, является решением уравнения.
• Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge -1$, значит, является посторонним корнем.
• Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $-1 \ge -1$, значит, является решением уравнения.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -1$ и $x = 2$.

Ответ: -1; 2.

2) $(x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это означает, что мы должны решить совокупность уравнений при условии, что подкоренное выражение корня четной степени неотрицательно.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Уравнение равносильно совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} x-1=0, \\ \sqrt[10]{x^2-2x-3}=0, \end{array} \right.$

при условии $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Решим каждое уравнение совокупности:

1. $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

2. $\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = -1$ или $x = 3$.

Теперь проверим найденные значения на принадлежность ОДЗ:

• Корень $x = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 \notin (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x = -1$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \in (-\infty, -1]$.
• Корень $x = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $3 \in [3, \infty)$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -1$ и $x = 3$.

Ответ: -1; 3.

11.17. Решите уравнение:

1) $ (|x| - 3) \sqrt[6]{2 - x} = 0; $

2) $ (x + 2) \sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0. $

1) $(|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 2]$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

1. $|x| - 3 = 0$

$|x| = 3$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. $\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Возведем обе части в шестую степень:

$2 - x = 0$

$x_3 = 2$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \le 2$):

• Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \le 2$, следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию $-3 \le 2$, следовательно, является решением уравнения.
• Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию $2 \le 2$, следовательно, является решением уравнения.

Таким образом, решениями уравнения являются числа -3 и 2.

Ответ: -3; 2.

2) $(x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем шестой степени должно быть неотрицательным:

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Используя теорему Виета (сумма корней равна -2, произведение равно -3), находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках -3 и 1. Следовательно, неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю:

$x + 2 = 0$

$x_1 = -2$

2. Второй множитель равен нулю:

$\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения мы уже нашли: $x_2 = 1$ и $x_3 = -3$.

Проверим найденные значения на принадлежность ОДЗ ($x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$):

• Корень $x_1 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < -2 < 1$. Значит, $x = -2$ — посторонний корень.
• Корень $x_2 = 1$ принадлежит ОДЗ.
• Корень $x_3 = -3$ принадлежит ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет два корня: 1 и -3.

Ответ: -3; 1.

11.18. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[4]{x-1})^4 + (\sqrt[4]{1-x})^4 + 1;$

2) $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6.$

1) $y = (\sqrt[4]{x-1})^4 + (\sqrt[4]{1-x})^4 + 1$

Найдем область определения функции. Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому должны одновременно выполняться два условия:

$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases} $

Единственным числом, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x = 1$. Следовательно, область определения функции состоит из одной точки.

Найдем значение функции в этой точке, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$y(1) = (\sqrt[4]{1-1})^4 + (\sqrt[4]{1-1})^4 + 1 = (\sqrt[4]{0})^4 + (\sqrt[4]{0})^4 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, график данной функции состоит из одной-единственной точки с координатами $(1; 1)$.

Ответ: Графиком функции является точка $(1; 1)$.

2) $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6$

Найдем область определения функции. Аналогично предыдущему пункту, подкоренные выражения для корней четной степени должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим систему:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{cases} $

Решением системы является отрезок $x \in [0; 1]$. Это и есть область определения функции.

Для всех $x$ из области определения $[0; 1]$ подкоренные выражения $x$ и $1-x$ неотрицательны. Поэтому мы можем использовать тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $a \ge 0$.

Упростим выражение для функции:

$y = x + (1-x) = x + 1 - x = 1$.

Таким образом, для всех $x$ из отрезка $[0; 1]$ функция принимает значение $y=1$.

Графиком функции является отрезок прямой $y=1$, концами которого являются точки с абсциссами $x=0$ и $x=1$, то есть точки $(0; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок с концами в точках $(0; 1)$ и $(1; 1)$.

11.19. Постройте график функции:

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^4$;

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$.

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^4$

Сначала найдем область определения функции. Корень четвертой степени (четной степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, поэтому должно выполняться условие $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

Теперь упростим данную функцию. Для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) справедливо тождество $(\sqrt[4]{x})^4 = x$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = x \cdot x = x^2$

Следовательно, нам нужно построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$. Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в начале координат. Учитывая ограничение $x \ge 0$, мы строим только ту часть параболы, которая находится в первой координатной четверти (и в начале координат).

Это правая ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и проходящая, например, через точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$.

Ответ: График функции – это правая ветвь параболы $y = x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$.

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражения под корнями четной степени (корень 8-й и 6-й степени) должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2+x \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции $D(y) = [-2, 2]$.

Теперь упростим функцию на ее области определения. По свойству корня четной степени, $(\sqrt[2n]{a})^{2n} = a$ для всех $a \ge 0$. Поскольку для всех $x \in [-2, 2]$ оба подкоренных выражения ($2+x$ и $2-x$) неотрицательны, мы можем упростить каждый член в исходном выражении:

$y = (2+x) + (2-x)$

$y = 2 + x + 2 - x = 4$

Таким образом, функция эквивалентна $y = 4$ на отрезке $[-2, 2]$. Графиком этой функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс (оси Ox), проходящий на высоте 4 единицы. Концами этого отрезка являются точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: График функции – это отрезок прямой $y=4$ при $x \in [-2, 2]$.

11.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$

на промежутке:

1) $[-3; -1]; $ 2) $[-1; 2];$ 3) $[-3; +\infty).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = f(x)$. Найдем производную функции. Если $x > 0$, то $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $f'(x) = (\sqrt[4]{x})' = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. Так как $x > 0$, то $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на $(0; +\infty)$. Если $x < 0$, то $f(x) = \sqrt[4]{-x}$ и $f'(x) = (\sqrt[4]{-x})' = \frac{1}{4}(-x)^{-3/4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(-x)^3}}$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на $(-\infty; 0)$. В точке $x=0$ производная не существует. Так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+», $x=0$ является точкой минимума. $f(0)=0$ - это глобальный минимум функции.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-3; -1]$. На этом промежутке функция $f(x)$ монотонно убывает, так как он является частью интервала $(-\infty; 0)$. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:Наибольшее значение: $f(-3) = \sqrt[4]{|-3|} = \sqrt[4]{3}$. Наименьшее значение: $f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $\sqrt[4]{3}$.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-1; 2]$. Этот промежуток содержит точку минимума $x=0$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо сравнить её значения в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$. Вычислим значения:$f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = 1$.$f(0) = \sqrt[4]{|0|} = 0$.$f(2) = \sqrt[4]{|2|} = \sqrt[4]{2}$. Сравнивая полученные значения $0$, $1$ и $\sqrt[4]{2}$, заключаем:Наименьшее значение равно $0$. Наибольшее значение равно $\max(1, \sqrt[4]{2})$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[4]{2} > \sqrt[4]{1} = 1$. Следовательно, наибольшее значение равно $\sqrt[4]{2}$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\sqrt[4]{2}$.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-3; +\infty)$. Этот промежуток содержит точку глобального минимума $x=0$. Наименьшее значение функции на данном промежутке достигается в этой точке:$f_{наим} = f(0) = \sqrt[4]{|0|} = 0$. Для определения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$, так как промежуток неограничен справа.$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[4]{x} = +\infty$. Поскольку функция неограниченно возрастает, она не достигает своего наибольшего значения на этом промежутке.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

11.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ на промежутке:

1) $[2; 3];$

2) $[-2; 1];$

3) $(-\infty; 2).$

1) [2; 3]

На промежутке $[2; 3]$ выполняется условие $x > 0$, поэтому функция принимает вид $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на замкнутом промежутке $[2; 3]$ наименьшее значение достигается в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $f(2) = \sqrt[3]{2}$.

Наибольшее значение: $f(3) = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: наименьшее значение $\sqrt[3]{2}$, наибольшее значение $\sqrt[3]{3}$.

2) [-2; 1]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке, необходимо вычислить её значения на концах промежутка и в точках экстремума, принадлежащих этому промежутку.

Функция $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ имеет точку минимума при $x=0$, так как при $x<0$ она убывает, а при $x>0$ — возрастает. Точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-2; 1]$.

Вычислим значения функции в точках $x=-2$, $x=1$ и $x=0$:

$f(-2) = \sqrt[3]{|-2|} = \sqrt[3]{2}$

$f(1) = \sqrt[3]{|1|} = 1$

$f(0) = \sqrt[3]{|0|} = 0$

Сравним полученные значения: $0$, $1$ и $\sqrt[3]{2}$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1} = 1$.

Следовательно, наименьшее значение равно $0$, а наибольшее — $\sqrt[3]{2}$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\sqrt[3]{2}$.

3) $(-\infty; 2)$

Промежуток $(-\infty; 2)$ является открытым. Функция $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ неотрицательна для всех $x$, то есть $f(x) \ge 0$. Значение $0$ достигается в точке $x=0$. Поскольку точка $x=0$ принадлежит промежутку $(-\infty; 2)$, то наименьшее значение функции на этом промежутке равно $0$.

Для определения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{|x|} = +\infty$

Поскольку функция неограниченно возрастает (принимает сколь угодно большие значения) на данном промежутке, она не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

11.22. Решите неравенство:

1) $\sqrt[3]{3x+1} < 4$;

2) $\sqrt[8]{4x+1} \le 1$;

3) $\sqrt[4]{x^2-8} > \sqrt[4]{2x}$.

1) $\sqrt[3]{3x+1} < 4$

Поскольку корень имеет нечетную степень (3), область допустимых значений переменной $x$ — все действительные числа. Для решения неравенства возведем обе его части в третью степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется.

$(\sqrt[3]{3x+1})^3 < 4^3$

$3x+1 < 64$

Перенесем 1 в правую часть:

$3x < 64 - 1$

$3x < 63$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{63}{3}$

$x < 21$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 21)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 21)$.

2) $\sqrt[8]{4x+1} \le 1$

Так как корень имеет четную степень (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$4x+1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{4}; +\infty)$.

На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны. Мы можем возвести их в восьмую степень, при этом знак неравенства сохранится.

$(\sqrt[8]{4x+1})^8 \le 1^8$

$4x+1 \le 1$

$4x \le 1 - 1$

$4x \le 0$

$x \le 0$

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \le 0$ с областью допустимых значений $x \ge -\frac{1}{4}$:

$\begin{cases} x \ge -\frac{1}{4} \\ x \le 0 \end{cases}$

Общим решением является промежуток $[-\frac{1}{4}; 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}; 0]$.

3) $\sqrt[4]{x^2-8} > \sqrt[4]{2x}$

Так как корни имеют четную степень (4), оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 8 \ge 0 \\ 2x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 8$. Его решения: $x \le -\sqrt{8}$ или $x \ge \sqrt{8}$. То есть $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}; \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Найдем пересечение этих двух условий. Общим решением системы является промежуток $[2\sqrt{2}; \infty)$. Это и есть ОДЗ.

На области допустимых значений обе части исходного неравенства неотрицательны. Возведем их в четвертую степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[4]{x^2-8})^4 > (\sqrt[4]{2x})^4$

$x^2-8 > 2x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2-2x-8 > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2-2x-8=0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1=4$ и $x_2=-2$.

Графиком функции $y=x^2-2x-8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \ge 2\sqrt{2}$):

$\begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty) \\ x \ge 2\sqrt{2} \end{cases}$

Учитывая, что $2\sqrt{2} = \sqrt{8} \approx 2.828$, промежуток $(-\infty; -2)$ не пересекается с ОДЗ. Пересечением множества $(4; \infty)$ и $[2\sqrt{2}; \infty)$ является интервал $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (4; \infty)$.

11.23. Решите неравенство:

1) $ \sqrt[10]{x+2} > 1 $;

2) $ \sqrt[4]{5x+1} < 3 $;

3) $ \sqrt[8]{x^2-|x|+1} > \sqrt[8]{5-|x|} $.

1) $\sqrt[10]{x+2} > 1$

Данное неравенство является иррациональным.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$x + 2 \ge 0$
$x \ge -2$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в 10-ю степень, сохраняя знак неравенства:
$(\sqrt[10]{x+2})^{10} > 1^{10}$
$x + 2 > 1$
$x > 1 - 2$
$x > -1$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -2 \\ x > -1 \end{cases}$
Общим решением является $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) $\sqrt[4]{5x+1} < 3$

Это иррациональное неравенство.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$5x + 1 \ge 0$
$5x \ge -1$
$x \ge -1/5$

Левая часть неравенства по определению неотрицательна ($\sqrt[4]{5x+1} \ge 0$), а правая часть положительна. Следовательно, мы можем возвести обе части в 4-ю степень:
$(\sqrt[4]{5x+1})^4 < 3^4$
$5x + 1 < 81$
$5x < 80$
$x < 16$

Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -1/5 \\ x < 16 \end{cases}$
Общим решением является $-1/5 \le x < 16$.

Ответ: $x \in [-1/5; 16)$.

3) $\sqrt[8]{x^2 - |x| + 1} > \sqrt[8]{5 - |x|}$

Данное иррациональное неравенство содержит корни одинаковой четной степени.

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x^2 - |x| + 1 \ge 0 \\ 5 - |x| \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство системы: $x^2 - |x| + 1 \ge 0$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получим квадратное неравенство $t^2 - t + 1 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как старший коэффициент (1) положителен, а дискриминант отрицателен, трехчлен $t^2 - t + 1$ всегда положителен. Следовательно, первое неравенство выполняется для любых $x$.

Рассмотрим второе неравенство системы: $5 - |x| \ge 0$.
$|x| \le 5$
$-5 \le x \le 5$

Таким образом, ОДЗ всего неравенства: $x \in [-5; 5]$.

Так как функция $y = \sqrt[8]{u}$ является возрастающей, мы можем сравнить подкоренные выражения, сохранив знак неравенства:
$x^2 - |x| + 1 > 5 - |x|$
Прибавим $|x|$ к обеим частям:
$x^2 + 1 > 5$
$x^2 > 4$
$x^2 - 4 > 0$
$(x-2)(x+2) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \in [-5; 5]$):
$\begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \\ x \in [-5; 5] \end{cases}$
Пересечением будет $[-5; -2) \cup (2; 5]$.

Ответ: $x \in [-5; -2) \cup (2; 5]$.

11.24. В зависимости от значения параметра $a$ определите количество корней уравнения:

1) $(x-a)\sqrt[4]{x+1}=0;$

2) $(x-a)(\sqrt[4]{x+1})=0;$

3) $(x-a)(\sqrt[4]{x-1})=0.$

1)

Дано уравнение $(x - a)\sqrt[4]{x} + 1 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня $\sqrt[4]{x}$, поэтому $x \ge 0$.

Проверим, может ли $x=0$ быть корнем уравнения. Подставив $x=0$, получим: $(0-a)\sqrt[4]{0} + 1 = 0$, что приводит к неверному равенству $1=0$. Следовательно, $x=0$ не является корнем, и мы можем считать, что $x > 0$.

Преобразуем исходное уравнение, чтобы выразить параметр $a$ через $x$:

$(x-a)\sqrt[4]{x} = -1$

Так как $x > 0$, то $\sqrt[4]{x} > 0$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt[4]{x}$:

$x-a = -\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

$a = x + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

Задача свелась к нахождению количества решений уравнения $a=f(x)$ в зависимости от параметра $a$, где $f(x) = x + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ для $x > 0$. Для этого исследуем функцию $f(x)$ на монотонность и экстремумы с помощью производной.

Найдем производную функции $f(x) = x + x^{-1/4}$:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{4}x^{-5/4} = 1 - \frac{1}{4x^{5/4}}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$1 - \frac{1}{4x^{5/4}} = 0 \implies 4x^{5/4} = 1 \implies x^{5/4} = \frac{1}{4}$

Отсюда, $x_0 = \left(\frac{1}{4}\right)^{4/5} = 4^{-4/5}$.

При $0 < x < x_0$ производная $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает. При $x > x_0$ производная $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, в точке $x_0$ функция достигает своего глобального минимума.

Найдем это минимальное значение:

$a_{min} = f(x_0) = 4^{-4/5} + \frac{1}{\sqrt[4]{4^{-4/5}}} = 4^{-4/5} + (4^{-4/5})^{-1/4} = 4^{-4/5} + 4^{1/5}$

Упростим выражение: $a_{min} = 4^{-4/5}(1+4) = 5 \cdot 4^{-4/5} = \frac{5}{4^{4/5}} = \frac{5}{\sqrt[5]{4^4}} = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$.

Количество корней уравнения зависит от значения параметра $a$:

• Если $a < a_{min}$ (т.е. $a < \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$), то прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=f(x)$, и уравнение не имеет корней.
• Если $a = a_{min}$ (т.е. $a = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$), то прямая касается графика в точке минимума, и уравнение имеет один корень.
• Если $a > a_{min}$ (т.е. $a > \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$), то прямая пересекает график в двух точках, и уравнение имеет два корня.

Ответ: если $a < \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, корней нет; если $a = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, один корень; если $a > \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, два корня.

2)

Дано уравнение $(x-a)(\sqrt[4]{x}+1)=0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x-a = 0 \implies x = a$.

2) $\sqrt[4]{x}+1 = 0 \implies \sqrt[4]{x} = -1$.

Второе уравнение, $\sqrt[4]{x} = -1$, не имеет решений в действительных числах, так как по определению арифметический корень четной степени не может быть отрицательным, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$.

Следовательно, единственным возможным корнем уравнения является $x=a$. Этот корень должен удовлетворять ОДЗ: $a \ge 0$.

Таким образом, количество корней зависит от значения $a$:

• Если $a < 0$, то корень $x=a$ не удовлетворяет ОДЗ, и уравнение не имеет корней.
• Если $a \ge 0$, то корень $x=a$ удовлетворяет ОДЗ, и уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 0$, корней нет; если $a \ge 0$, один корень.

3)

Дано уравнение $(x-a)(\sqrt[4]{x}-1)=0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x-a = 0 \implies x = a$.

2) $\sqrt[4]{x}-1 = 0 \implies \sqrt[4]{x} = 1$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), поэтому он является корнем уравнения при любом значении параметра $a$.

Корень $x=a$ будет решением только в том случае, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при $a \ge 0$.

Проанализируем количество корней в зависимости от $a$:

• Если $a < 0$, то корень $x=a$ не удовлетворяет ОДЗ. Единственным корнем уравнения является $x=1$. В этом случае уравнение имеет один корень.
• Если $a \ge 0$, то корень $x=a$ удовлетворяет ОДЗ. Уравнение может иметь два корня: $x=a$ и $x=1$.
  • Если $a=1$, эти два корня совпадают. Уравнение имеет один корень $x=1$.
  • Если $a \ge 0$ и $a \ne 1$, то корни $x=a$ и $x=1$ различны и оба действительны. Уравнение имеет два корня.

Обобщая, получаем:

Ответ: если $a < 0$ или $a=1$, один корень; если $a \ge 0$ и $a \ne 1$, два корня.

11.25. В зависимости от значения параметра a определите количество корней уравнения:

1) $(x+1)\sqrt[4]{x-a}=0;$

2) $(x-1)(\sqrt[4]{x}-a)=0.$

1) $(x+1)\sqrt[4]{x-a} = 0$

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x-a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Следовательно, уравнение равносильно совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} x+1=0, \\ \sqrt[4]{x-a}=0 \end{array} \right.$

при условии $x \ge a$.

Из совокупности получаем два потенциальных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = a$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge a$).

Для корня $x_2 = a$: подставляем в условие ОДЗ, получаем $a \ge a$. Это верное неравенство при любом значении $a$. Значит, $x=a$ является корнем уравнения при любом $a$.

Для корня $x_1 = -1$: подставляем в условие ОДЗ, получаем $-1 \ge a$, или $a \le -1$. Этот корень существует только при выполнении данного условия.

Теперь определим количество различных корней в зависимости от $a$.

Если $a < -1$, условие $a \le -1$ выполняется. Уравнение имеет два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = a$. Так как $a \ne -1$, корни различны. Итого, 2 корня.

Если $a = -1$, условие $a \le -1$ выполняется. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = a = -1$. Корни совпадают. Итого, 1 корень.

Если $a > -1$, условие $a \le -1$ не выполняется. Корень $x_1 = -1$ является посторонним. Единственный корень — $x_2 = a$. Итого, 1 корень.

Объединим случаи, когда корень один: это происходит при $a = -1$ и при $a > -1$, то есть при $a \ge -1$.

Ответ: если $a < -1$, то 2 корня; если $a \ge -1$, то 1 корень.

2) $(x-1)(\sqrt[4]{x}-a) = 0$

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} x-1=0, \\ \sqrt[4]{x}-a=0 \end{array} \right.$

при условии $x \ge 0$.

Первое уравнение $x-1=0$ дает корень $x_1=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), следовательно, $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом $a$.

Второе уравнение $\sqrt[4]{x}=a$.

Если $a < 0$, это уравнение не имеет решений, так как арифметический корень $\sqrt[4]{x}$ по определению неотрицателен. В этом случае у исходного уравнения только один корень: $x=1$.

Если $a \ge 0$, уравнение $\sqrt[4]{x}=a$ имеет единственный корень $x_2=a^4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $a^4 \ge 0$.

Таким образом, при $a \ge 0$ уравнение имеет корни $x_1=1$ и $x_2=a^4$. Определим, когда они совпадают: $a^4 = 1$. Так как $a \ge 0$, получаем $a=1$.

Рассмотрим количество корней для разных значений $a$.

Если $a < 0$: есть только один корень $x=1$. Итого, 1 корень.

Если $a \ge 0$ и $a \ne 1$ (т.е. $a \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$): есть два различных корня $x_1=1$ и $x_2=a^4$. Итого, 2 корня.

Если $a=1$: корни $x_1=1$ и $x_2=1^4=1$ совпадают. Итого, 1 корень.

Объединим случаи, когда корень один: это происходит при $a < 0$ и при $a=1$.

Ответ: если $a \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$, то 1 корень; если $a \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$, то 2 корня.

11.26. Решите уравнение $ \sqrt[4]{x-26} + \sqrt[3]{x} = 4 $.

Для решения уравнения $\sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x} = 4$ воспользуемся методом введения новых переменных.

Пусть $a = \sqrt[4]{x - 26}$ и $b = \sqrt[3]{x}$. Поскольку корень четвертой степени является арифметическим, должно выполняться условие $a \ge 0$.

С учетом введенных обозначений исходное уравнение принимает вид: $a + b = 4$.

Теперь выразим $x$ из каждого равенства, определяющего новые переменные:

Из $a = \sqrt[4]{x - 26}$ следует $a^4 = x - 26$, откуда $x = a^4 + 26$.

Из $b = \sqrt[3]{x}$ следует $b^3 = x$.

Приравнивая выражения для $x$, получаем второе уравнение, связывающее переменные $a$ и $b$: $a^4 + 26 = b^3$.

Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ a^4 + 26 = b^3 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим $b$ через $a$: $b = 4 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$a^4 + 26 = (4 - a)^3$

Раскроем куб разности в правой части:

$a^4 + 26 = 4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot a + 3 \cdot 4 \cdot a^2 - a^3$

$a^4 + 26 = 64 - 48a + 12a^2 - a^3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$a^4 + a^3 - 12a^2 + 48a + 26 - 64 = 0$

$a^4 + a^3 - 12a^2 + 48a - 38 = 0$

Мы получили уравнение четвертой степени относительно $a$. Попробуем найти его рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если они существуют, то находятся среди делителей свободного члена (-38). Делители числа 38: $\pm1, \pm2, \pm19, \pm38$.

Проверим, является ли $a = 1$ корнем:

$1^4 + 1^3 - 12(1)^2 + 48(1) - 38 = 1 + 1 - 12 + 48 - 38 = 50 - 50 = 0$.

Равенство верное, значит $a = 1$ — корень уравнения. Этот корень удовлетворяет условию $a \ge 0$.

Теперь найдем соответствующее значение $b$:

$b = 4 - a = 4 - 1 = 3$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$. Используем, например, равенство $x = b^3$:

$x = 3^3 = 27$.

Проверим найденное значение, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{27 - 26} + \sqrt[3]{27} = \sqrt[4]{1} + 3 = 1 + 3 = 4$.

$4 = 4$.

Решение найдено верно.

Чтобы убедиться, что это решение единственное, можно проанализировать функцию $f(x) = \sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x}$. Область определения функции задается условием $x - 26 \ge 0$, то есть $x \in [26, +\infty)$. Производная функции $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{(x - 26)^3}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ положительна для всех $x > 26$. Это значит, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго возрастающая функция принимает каждое свое значение ровно один раз, поэтому уравнение $f(x) = 4$ имеет не более одного корня. Так как мы нашли корень $x = 27$, он и является единственным решением.

Ответ: $27$.

11.27. Решите уравнение $\sqrt[3]{x-9} + \sqrt[4]{x+6} = 3$.

Данное уравнение: $ \sqrt[3]{x-9} + \sqrt[4]{x+6} = 3 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $ x+6 \ge 0 $, откуда $ x \ge -6 $.

Для решения уравнения введем замены. Пусть $ a = \sqrt[3]{x-9} $ и $ b = \sqrt[4]{x+6} $. Так как корень четвертой степени является арифметическим, то $ b \ge 0 $.

Исходное уравнение примет вид: $ a+b=3 $.

Выразим $x$ из каждой замены:
Из $ a = \sqrt[3]{x-9} $ следует $ a^3 = x-9 $, то есть $ x = a^3+9 $.
Из $ b = \sqrt[4]{x+6} $ следует $ b^4 = x+6 $, то есть $ x = b^4-6 $.

Приравнивая выражения для $x$, получаем второе уравнение для связи $a$ и $b$:
$ a^3+9 = b^4-6 $
$ a^3 - b^4 + 15 = 0 $.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} a+b=3 \\ a^3 - b^4 + 15 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ a = 3-b $ и подставим во второе уравнение:
$ (3-b)^3 - b^4 + 15 = 0 $

Раскроем скобки:
$ (27 - 27b + 9b^2 - b^3) - b^4 + 15 = 0 $
$ -b^4 - b^3 + 9b^2 - 27b + 42 = 0 $
Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид полинома:
$ b^4 + b^3 - 9b^2 + 27b - 42 = 0 $

Это полиномиальное уравнение четвертой степени. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-42). Учитывая условие $ b \ge 0 $, проверяем только положительные делители.
Проверим $ b=1 $: $ 1^4 + 1^3 - 9(1)^2 + 27(1) - 42 = 1+1-9+27-42 = -22 \ne 0 $.
Проверим $ b=2 $: $ 2^4 + 2^3 - 9(2)^2 + 27(2) - 42 = 16+8-36+54-42 = 24-36+54-42 = -12+12=0 $.
Таким образом, $ b=2 $ является корнем уравнения.

Найдем соответствующее значение $x$:
$ b = \sqrt[4]{x+6} \implies 2 = \sqrt[4]{x+6} \implies 2^4 = x+6 \implies 16 = x+6 \implies x=10 $.

Проверим, удовлетворяет ли $ x=10 $ ОДЗ ($x \ge -6$): $ 10 \ge -6 $, условие выполнено.

Выполним проверку, подставив $ x=10 $ в исходное уравнение:
$ \sqrt[3]{10-9} + \sqrt[4]{10+6} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[4]{16} = 1+2 = 3 $.
$ 3=3 $. Равенство верное, значит $ x=10 $ является решением.

Чтобы доказать, что это единственное решение, рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt[3]{x-9} + \sqrt[4]{x+6} $.
Эта функция определена на луче $ [-6, +\infty) $. Найдем ее производную:
$ f'(x) = (\sqrt[3]{x-9})' + (\sqrt[4]{x+6})' = ((x-9)^{1/3})' + ((x+6)^{1/4})' $
$ f'(x) = \frac{1}{3}(x-9)^{-2/3} + \frac{1}{4}(x+6)^{-3/4} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-9)^2}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{(x+6)^3}} $.

Производная существует для $ x > -6 $ и $ x \ne 9 $.
В области определения производной оба слагаемых положительны: $ \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-9)^2}} > 0 $ и $ \frac{1}{4\sqrt[4]{(x+6)^3}} > 0 $.
Следовательно, $ f'(x) > 0 $ для всех $x$ из области определения производной. Это означает, что функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей своей области определения $ [-6, +\infty) $.

Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Поэтому уравнение $ f(x)=3 $ может иметь не более одного корня.
Так как мы уже нашли корень $ x=10 $, он и является единственным решением.

Ответ: 10.

11.28. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y}, \\ x^2 + xy + y^2 = 27. \end{cases}$$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y} \\ x^2 + xy + y^2 = 27 \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия корней шестой степени $\sqrt[6]{x}$ и $\sqrt[6]{y}$ подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Следовательно, $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y}$. Введем функцию $f(t) = t + \sqrt[6]{t}$, которая определена для $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно переписать в виде $f(x) = f(y)$.

Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(t) = (t + t^{1/6})' = 1 + \frac{1}{6}t^{1/6 - 1} = 1 + \frac{1}{6}t^{-5/6} = 1 + \frac{1}{6\sqrt[6]{t^5}}$.

Для всех $t > 0$ производная $f'(t)$ строго положительна, так как $1 > 0$ и $\frac{1}{6\sqrt[6]{t^5}} > 0$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$. Таким образом, из первого уравнения системы следует, что $x=y$.

Теперь мы можем подставить $y = x$ во второе уравнение системы: $x^2 + x \cdot x + x^2 = 27$

Упростим и решим полученное уравнение: $3x^2 = 27$ $x^2 = 9$ Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Вспомним об ОДЗ, согласно которому $x \ge 0$. Поэтому решение $x = -3$ не подходит. Единственным допустимым решением является $x = 3$.

Так как $y = x$, то $y = 3$.

Итак, мы получили единственное решение системы: $(3, 3)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходные уравнения: $$ \begin{cases} 3 + \sqrt[6]{3} = 3 + \sqrt[6]{3} \\ 3^2 + 3 \cdot 3 + 3^2 = 27 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3 + \sqrt[6]{3} = 3 + \sqrt[6]{3} \quad (\text{верно}) \\ 9 + 9 + 9 = 27 \quad (\text{верно}) \end{cases} $$ Оба уравнения обращаются в верные равенства, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 3)$.

11.29. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$\begin{cases} x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y} \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}$.

Введем функцию $f(t) = t + \sqrt[5]{t}$. Тогда первое уравнение можно записать в виде $f(x) = f(y)$.

Исследуем эту функцию на монотонность. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(t)$:

$f'(t) = (t + t^{1/5})' = 1 + \frac{1}{5}t^{-4/5} = 1 + \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$

Поскольку $t^4 \ge 0$ для любого действительного $t$, то и $\sqrt[5]{t^4} \ge 0$. Выражение $\sqrt[5]{t^4}$ обращается в ноль только при $t=0$.

Следовательно, для всех $t \ne 0$, знаменатель $5\sqrt[5]{t^4}$ строго положителен. Тогда и вся дробь $\frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$ будет строго положительной.

Таким образом, $f'(t) = 1 + (\text{положительное число}) > 1 > 0$ для всех $t \ne 0$.

Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения (поскольку она непрерывна в точке $t=0$, она строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$).

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$.

Теперь мы можем подставить $y = x$ во второе уравнение системы:

$x^2 + y^2 = 2$

$x^2 + x^2 = 2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Так как $y = x$, находим соответствующие значения для $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$.

Таким образом, система имеет два решения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Выполним проверку найденных решений.

Для пары $(1, 1)$:

$\begin{cases} 1 + \sqrt[5]{1} = 1 + \sqrt[5]{1} \\ 1^2 + 1^2 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 + 1 = 1 + 1 \\ 1 + 1 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 = 2 \\ 2 = 2 \end{cases}$

Решение верное.

Для пары $(-1, -1)$:

$\begin{cases} -1 + \sqrt[5]{-1} = -1 + \sqrt[5]{-1} \\ (-1)^2 + (-1)^2 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 - 1 = -1 - 1 \\ 1 + 1 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} -2 = -2 \\ 2 = 2 \end{cases}$

Решение верное.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.