Номер 11.15, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.15. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[6]{\frac{|x|-4}{x^2-36}}$;2) $\sqrt[10]{|x|-3} - \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$

1)

Область определения выражения $ \sqrt[6]{\frac{|x| - 4}{x^2 - 36}} $ задается условием, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае, степени 6) должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$$ \frac{|x| - 4}{x^2 - 36} \ge 0 $$

Это неравенство уже включает в себя условие, что знаменатель не равен нулю ($x^2 - 36 \ne 0$), так как на ноль делить нельзя. Решим данное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя:

$ |x| - 4 = 0 \implies |x| = 4 \implies x_1 = -4, x_2 = 4 $. Эти точки могут входить в решение, так как неравенство нестрогое.

2. Найдем нули знаменателя:

$ x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x_3 = -6, x_4 = 6 $. Эти точки не входят в решение (выколотые точки), так как они обращают знаменатель в ноль.

3. Отметим все найденные точки на числовой оси: -6, -4, 4, 6. Они разбивают ось на пять интервалов. Определим знак выражения $ \frac{|x| - 4}{x^2 - 36} $ в каждом интервале.

• При $ x \in (-\infty, -6) $, например $ x = -7 $: $ \frac{|-7| - 4}{(-7)^2 - 36} = \frac{7 - 4}{49 - 36} = \frac{3}{13} > 0 $.
• При $ x \in (-6, -4) $, например $ x = -5 $: $ \frac{|-5| - 4}{(-5)^2 - 36} = \frac{5 - 4}{25 - 36} = \frac{1}{-11} < 0 $.
• При $ x \in (-4, 4) $, например $ x = 0 $: $ \frac{|0| - 4}{0^2 - 36} = \frac{-4}{-36} = \frac{1}{9} > 0 $.
• При $ x \in (4, 6) $, например $ x = 5 $: $ \frac{|5| - 4}{5^2 - 36} = \frac{5 - 4}{25 - 36} = \frac{1}{-11} < 0 $.
• При $ x \in (6, +\infty) $, например $ x = 7 $: $ \frac{|7| - 4}{7^2 - 36} = \frac{7 - 4}{49 - 36} = \frac{3}{13} > 0 $.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $ (-\infty, -6) $, $ (-4, 4) $ и $ (6, +\infty) $. Включаем в решение нули числителя ($x=-4$ и $x=4$).

Таким образом, область определения выражения — это объединение полученных промежутков.

Ответ: $ (-\infty, -6) \cup [-4, 4] \cup (6, +\infty) $.

2)

Область определения выражения $ \sqrt[10]{|x| - 3} - \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} $ является пересечением областей определения каждого из двух слагаемых.

1. Для первого слагаемого $ \sqrt[10]{|x| - 3} $ подкоренное выражение корня четной степени (степени 10) должно быть неотрицательным:

$ |x| - 3 \ge 0 $

$ |x| \ge 3 $

Это неравенство равносильно совокупности $ x \ge 3 $ или $ x \le -3 $. В виде промежутков это записывается как $ (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) $.

2. Для второго слагаемого $ \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} $ подкоренное выражение корня четной степени (степени 4) должно быть неотрицательным. Но так как корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$ x + 4 > 0 $

$ x > -4 $

В виде промежутка это записывается как $ (-4, +\infty) $.

3. Чтобы найти общую область определения, необходимо найти пересечение полученных множеств решений:

$ ( (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) ) \cap (-4, +\infty) $

Найдем пересечение для каждого из промежутков в объединении:

• Пересечение $ (-\infty, -3] $ и $ (-4, +\infty) $ дает промежуток $ (-4, -3] $.
• Пересечение $ [3, +\infty) $ и $ (-4, +\infty) $ дает промежуток $ [3, +\infty) $.

Объединяя эти два результата, получаем итоговую область определения.

Ответ: $ (-4, -3] \cup [3, +\infty) $.