Номер 11.11, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.11. Решите уравнение:

1) $x^5 = 9;$

2) $x^7 = -2;$

3) $x^6 = 5;$

4) $\sqrt[4]{x} = 3;$

5) $\sqrt[6]{x} = -2;$

6) $\sqrt[3]{2x} + 7 = 0.$

1) Дано уравнение $x^5 = 9$. Так как показатель степени $5$ является нечетным числом, уравнение имеет единственный действительный корень. Чтобы найти его, извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения: $x = \sqrt[5]{9}$.
Ответ: $x = \sqrt[5]{9}$.

2) Дано уравнение $x^7 = -2$. Показатель степени $7$ — нечетное число. Уравнение вида $x^{n} = a$ при нечетном $n$ имеет единственный действительный корень $x = \sqrt[n]{a}$ при любом значении $a$. Извлекая корень седьмой степени из обеих частей, получаем: $x = \sqrt[7]{-2}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа можно записать как $x = -\sqrt[7]{2}$.
Ответ: $x = -\sqrt[7]{2}$.

3) Дано уравнение $x^6 = 5$. Так как показатель степени $6$ является четным числом, а правая часть уравнения — положительное число ($5 > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся извлечением корня шестой степени из обеих частей уравнения, при этом необходимо учесть оба знака: $x = \pm\sqrt[6]{5}$.
Ответ: $x = \pm\sqrt[6]{5}$.

4) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 3$. Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в четвертую степень. Область допустимых значений для этого уравнения $x \ge 0$, так как корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Возводим обе части в степень 4: $(\sqrt[4]{x})^4 = 3^4$, что дает $x = 81$. Полученное значение $x = 81$ удовлетворяет ОДЗ ($81 \ge 0$).
Ответ: $x = 81$.

5) Дано уравнение $\sqrt[6]{x} = -2$. По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае шестой) является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Правая часть уравнения равна $-2$, что является отрицательным числом. Следовательно, равенство невозможно, и уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

6) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x} + 7 = 0$. Сначала изолируем радикал, перенеся 7 в правую часть: $\sqrt[3]{2x} = -7$. Так как корень нечетной степени (третьей), мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от радикала: $(\sqrt[3]{2x})^3 = (-7)^3$. Это дает $2x = -343$. Теперь решим линейное уравнение относительно $x$, разделив обе части на 2: $x = -\frac{343}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{343}{2}$.