Номер 11.10, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.10. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $ \sqrt[3]{18} $;

2) $ \sqrt[4]{139} $;

3) $ -\sqrt[3]{212} $?

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{18}$, нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{18} < n+1$.

Возведем все части этого неравенства в третью степень, так как функция $y=x^3$ является возрастающей. Получим эквивалентное неравенство:$n^3 < 18 < (n+1)^3$.

Теперь подберем целые числа, чьи кубы близки к 18:

• $1^3 = 1$
• $2^3 = 8$
• $3^3 = 27$

Из этих вычислений видно, что $8 < 18 < 27$. Это означает, что $2^3 < 18 < 3^3$. Извлекая кубический корень из всех частей этого неравенства, мы возвращаемся к исходному выражению:$2 < \sqrt[3]{18} < 3$.

Следовательно, число $\sqrt[3]{18}$ находится на координатной прямой между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[4]{139}$, найдем целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \sqrt[4]{139} < n+1$.

Возведем все части неравенства в четвертую степень. Так как функция $y=x^4$ является возрастающей для положительных $x$, неравенство сохранится:$n^4 < 139 < (n+1)^4$.

Подберем целые числа, чьи четвертые степени близки к 139:

• $1^4 = 1$
• $2^4 = 16$
• $3^4 = 81$
• $4^4 = 256$

Мы видим, что $81 < 139 < 256$. Значит, $3^4 < 139 < 4^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем:$3 < \sqrt[4]{139} < 4$.

Следовательно, число $\sqrt[4]{139}$ находится на координатной прямой между последовательными целыми числами 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

3) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $-\sqrt[3]{212}$, сначала определим положение положительного числа $\sqrt[3]{212}$.

Найдем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[3]{212} < n+1$. Возведем в куб все части неравенства:$n^3 < 212 < (n+1)^3$.

Подберем целые числа, чьи кубы близки к 212:

• $5^3 = 125$
• $6^3 = 216$

Из вычислений следует, что $125 < 212 < 216$. То есть, $5^3 < 212 < 6^3$. Извлекая кубический корень, получаем:$5 < \sqrt[3]{212} < 6$.

Теперь рассмотрим исходное отрицательное число. Умножим все части полученного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$-5 > -\sqrt[3]{212} > -6$.

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):$-6 < -\sqrt[3]{212} < -5$.

Таким образом, число $-\sqrt[3]{212}$ находится на координатной прямой между последовательными целыми числами -6 и -5.
Ответ: -6 и -5.