Номер 11.8, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.8. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} - 4;$

2) $y = \sqrt[5]{x} - 2;$

3) $y = |\sqrt[7]{x} + 1|.$

1) Дана функция $y = \sqrt[4]{x} - 4$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$ (корень четной степени) — это множество всех неотрицательных чисел. Это можно записать в виде неравенства: $\sqrt[4]{x} \ge 0$.
Чтобы найти область значений для исходной функции $y$, мы вычитаем 4 из обеих частей этого неравенства: $\sqrt[4]{x} - 4 \ge 0 - 4$
$y \ge -4$
Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -4.
Ответ: $E(y) = [-4; +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ (корень нечетной степени) — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$ получается путем сдвига графика функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ на 2 единицы вниз. Такой сдвиг не изменяет множество значений, которое остается множеством всех действительных чисел.
Пусть $\sqrt[5]{x} = z$, где $z$ может быть любым действительным числом. Тогда $y = z - 2$. Поскольку $z$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и $y$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) Дана функция $y = |\sqrt[7]{x} + 1|$.
Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля: $g(x) = \sqrt[7]{x} + 1$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt[7]{x}$ (корень нечетной степени) — это множество всех действительных чисел, $(-\infty; +\infty)$.
Прибавление 1 к функции сдвигает ее график вверх, но не меняет ее область значений. Таким образом, область значений $g(x) = \sqrt[7]{x} + 1$ также является множеством всех действительных чисел.
Теперь применим операцию взятия модуля (абсолютного значения). Абсолютное значение любого действительного числа является неотрицательным. Поскольку выражение $\sqrt[7]{x} + 1$ может принимать любое действительное значение, его модуль будет принимать все неотрицательные значения.
$y = |\sqrt[7]{x} + 1| \ge 0$
Таким образом, область значений функции — это множество всех неотрицательных чисел.
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.