Номер 11.9, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.9. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{3}$;

2) $\sqrt[4]{21}$;

3) $\sqrt[3]{100}$;

4) $-\sqrt[3]{81}$?

Для того чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится заданное число с корнем, нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется соответствующее неравенство. Для этого мы возводим предполагаемые целые числа в степень, равную показателю корня, и сравниваем результат с подкоренным выражением.

1) $\sqrt[3]{3}$

Нам нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$ таких, что $n < \sqrt[3]{3} < n+1$.
Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 3 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 3.
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Мы видим, что $1 < 3 < 8$.
Следовательно, $1^3 < 3 < 2^3$, что равносильно $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{8}$.
Таким образом, $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Число $\sqrt[3]{3}$ находится между целыми числами 1 и 2.
Ответ: между 1 и 2.

2) $\sqrt[4]{21}$

Ищем целые числа $n$ и $n+1$ такие, что $n < \sqrt[4]{21} < n+1$.
Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < 21 < (n+1)^4$.
Подберем целые числа, четвертые степени которых близки к 21.
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
Мы видим, что $16 < 21 < 81$.
Следовательно, $2^4 < 21 < 3^4$, что равносильно $\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{21} < \sqrt[4]{81}$.
Таким образом, $2 < \sqrt[4]{21} < 3$.
Число $\sqrt[4]{21}$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: между 2 и 3.

3) $\sqrt[3]{100}$

Ищем целые числа $n$ и $n+1$ такие, что $n < \sqrt[3]{100} < n+1$.
Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 100 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 100.
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
Мы видим, что $64 < 100 < 125$.
Следовательно, $4^3 < 100 < 5^3$, что равносильно $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{100} < \sqrt[3]{125}$.
Таким образом, $4 < \sqrt[3]{100} < 5$.
Число $\sqrt[3]{100}$ находится между целыми числами 4 и 5.
Ответ: между 4 и 5.

4) $-\sqrt[3]{81}$

Сначала найдем, между какими целыми положительными числами находится $\sqrt[3]{81}$.
Ищем целые числа $n$ и $n+1$ такие, что $n < \sqrt[3]{81} < n+1$.
Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 81 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 81.
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
Мы видим, что $64 < 81 < 125$.
Следовательно, $4^3 < 81 < 5^3$, что равносильно $4 < \sqrt[3]{81} < 5$.
Теперь рассмотрим число $-\sqrt[3]{81}$. Умножим неравенство $4 < \sqrt[3]{81} < 5$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -\sqrt[3]{81} > -5$
Запишем это неравенство в порядке возрастания:
$-5 < -\sqrt[3]{81} < -4$
Число $-\sqrt[3]{81}$ находится между целыми числами -5 и -4.
Ответ: между -5 и -4.