Номер 11.5, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.5. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{x-1};$

2) $y = \sqrt[4]{|x|-1};$

3) $y = \sqrt[6]{x^2(x-3)}.$

1) $y = \sqrt[3]{x-1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа подкоренного выражения.

Поэтому выражение $x-1$ может принимать любые значения.

Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[4]{|x|-1}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень четвертой степени). Корень четной степени определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения.

Следовательно, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю:

$|x| - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$|x| \ge 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge 1$ или $x \le -1$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух промежутков.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

3) $y = \sqrt[6]{x^2(x-3)}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень шестой степени). Корень четной степени определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения.

Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$x^2(x-3) \ge 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Рассмотрим два случая:

а) $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $x^2$, не меняя знака неравенства:

$x-3 \ge 0$

$x \ge 3$

б) $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$0^2(0-3) \ge 0$

$0 \cdot (-3) \ge 0$

$0 \ge 0$

Это верное неравенство, значит, $x=0$ также является решением.

Объединяя оба случая, получаем, что область определения функции состоит из точки $x=0$ и промежутка $[3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = \{0\} \cup [3; +\infty)$.