Страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.1. Вычислите:

1) $(-\sqrt[7]{2})^7$;

2) $-\sqrt[4]{7^4}$;

3) $\left(\frac{1}{2}\sqrt[6]{48}\right)^6$;

4) $\frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6}$.

1) Для вычисления $(-\sqrt[7]{2})^7$ воспользуемся свойством степени $(ab)^n = a^n b^n$ и определением корня n-ой степени, согласно которому $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
$(-\sqrt[7]{2})^7 = (-1 \cdot \sqrt[7]{2})^7 = (-1)^7 \cdot (\sqrt[7]{2})^7$.
Так как показатель степени 7 является нечетным числом, то $(-1)^7 = -1$.
Выражение $(\sqrt[7]{2})^7$ равно 2 по определению корня.
Таким образом, получаем: $(-1) \cdot 2 = -2$.
Ответ: -2.

2) Для вычисления $-\sqrt[4]{7^4}$ используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$, где $k$ - натуральное число.
В данном случае степень корня $n=4$ является четным числом.
Следовательно, $\sqrt[4]{7^4} = |7| = 7$.
Тогда все выражение равно $-\sqrt[4]{7^4} = -(7) = -7$.
Ответ: -7.

3) Для вычисления $(\frac{1}{2}\sqrt[6]{48})^6$ применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.
$(\frac{1}{2}\sqrt[6]{48})^6 = (\frac{1}{2})^6 \cdot (\sqrt[6]{48})^6$.
Вычислим каждый множитель отдельно.
$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[6]{48})^6 = 48$.
Перемножим полученные значения: $\frac{1}{64} \cdot 48 = \frac{48}{64}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 16:
$\frac{48 \div 16}{64 \div 16} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Для вычисления $\frac{1}{2}\sqrt[6]{48^6}$ используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$, где $k$ - натуральное число.
Степень корня $n=6$ является четным числом, поэтому $\sqrt[6]{48^6} = |48| = 48$.
Теперь умножим результат на коэффициент $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \cdot 48 = \frac{48}{2} = 24$.
Ответ: 24.

11.2. Найдите значение выражения:

1) $(-\sqrt[6]{11})^6$;

2) $\left(\frac{1}{3} \sqrt[3]{45}\right)^3$;

3) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{45^3}$;

4) $(-2\sqrt[5]{-5})^5$.

1) $(-\sqrt[6]{11})^6$

При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. Таким образом, $(-\sqrt[6]{11})^6 = (\sqrt[6]{11})^6$.

По основному свойству корня n-й степени, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

В данном случае $n=6$ и $a=11$, поэтому:

$(\sqrt[6]{11})^6 = 11$.

Ответ: 11

2) $(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3$

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить, то есть $(ab)^n = a^n b^n$.

$(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{45})^3$.

Вычислим значение каждого множителя:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.

По определению кубического корня, $(\sqrt[3]{45})^3 = 45$.

Теперь перемножим полученные значения:

$\frac{1}{27} \cdot 45 = \frac{45}{27}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 9:

$\frac{45}{27} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$

3) $\frac{1}{3}\sqrt[3]{45^3}$

Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n > 1$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$.

В нашем выражении $n=3$ (нечетное число) и $a=45$. Следовательно:

$\sqrt[3]{45^3} = 45$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{1}{3} \cdot 45 = \frac{45}{3} = 15$.

Ответ: 15

4) $(-2\sqrt[5]{-5})^5$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.

$(-2\sqrt[5]{-5})^5 = (-2)^5 \cdot (\sqrt[5]{-5})^5$.

Вычислим каждый множитель отдельно:

$(-2)^5 = -32$ (поскольку основание отрицательное, а показатель степени нечетный, результат будет отрицательным).

По определению корня n-й степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае $n=5$ и $a=-5$, поэтому $(\sqrt[5]{-5})^5 = -5$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$(-32) \cdot (-5) = 160$ (произведение двух отрицательных чисел положительно).

Ответ: 160

11.3. Вычислите:

1) $0.3\sqrt[3]{1000} - 5\sqrt[8]{256}$;

2) $\sqrt[5]{14^5} + (-2\sqrt{10})^2 - \sqrt[7]{-128}.$

1) Вычислим значение выражения $0,3\sqrt[3]{1000} - 5\sqrt[8]{256}$.

Сначала найдем значения корней:

Кубический корень из 1000: $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$.

Корень восьмой степени из 256. Так как $256 = 2^8$, то $\sqrt[8]{256} = \sqrt[8]{2^8} = 2$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$0,3 \cdot 10 - 5 \cdot 2 = 3 - 10 = -7$.

Ответ: -7

2) Вычислим значение выражения $\sqrt[5]{14^5} + (-2\sqrt{10})^2 - \sqrt[7]{-128}$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

Первое слагаемое: по свойству корня $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем $\sqrt[5]{14^5} = 14$.

Второе слагаемое: возведем в квадрат $(-2\sqrt{10})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.

Третье слагаемое: найдем корень седьмой степени из -128. Так как $(-2)^7 = -128$, то $\sqrt[7]{-128} = -2$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения:

$14 + 40 - (-2) = 14 + 40 + 2 = 56$.

Ответ: 56

11.4. Вычислите:

1) $200 \sqrt[3]{0,001} - \sqrt[5]{-0,00032}$;

2) $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7 \frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt[7]{17^7}. $

1) $200\sqrt[3]{0,001} - 5\sqrt[5]{-0,00032}$

Для решения этого выражения, вычислим значения корней:

1. Кубический корень из $0,001$. Так как $0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$, то $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$.

2. Корень пятой степени из $-0,00032$. Так как $(-0,2)^5 = -0,00032$, то $\sqrt[5]{-0,00032} = -0,2$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$200\sqrt[3]{0,001} - 5\sqrt[5]{-0,00032} = 200 \cdot 0,1 - 5 \cdot (-0,2) = 20 - (-1) = 20 + 1 = 21$.

Ответ: $21$.

2) $\sqrt[3]{8000} \cdot \sqrt[4]{7\frac{58}{81}} - (-\sqrt[5]{8})^5 + \sqrt[7]{17^7}$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности:

1. $\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{20^3} = 20$.

2. $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567 + 58}{81} = \frac{625}{81}$.

Теперь извлечем корень: $\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{5}{3}$, так как $5^4 = 625$ и $3^4 = 81$.

3. $-(-\sqrt[5]{8})^5$. Используем свойство $(\sqrt[n]{a})^n=a$. Тогда $(-\sqrt[5]{8})^5 = (-1)^5 \cdot (\sqrt[5]{8})^5 = -1 \cdot 8 = -8$. Следовательно, $-(-\sqrt[5]{8})^5 = -(-8) = 8$.

4. $\sqrt[7]{17^7}$. Используем свойство $\sqrt[n]{a^n}=a$ для нечетного $n$. Так как $7$ - нечетное число, $\sqrt[7]{17^7} = 17$.

Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$20 \cdot \frac{5}{3} - (-(-8)) + 17 = 20 \cdot \frac{5}{3} + 8 + 17 = \frac{100}{3} + 25 = \frac{100}{3} + \frac{75}{3} = \frac{175}{3}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{175}{3} = 58\frac{1}{3}$.

Ответ: $58\frac{1}{3}$.

11.5. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{x-1};$

2) $y = \sqrt[4]{|x|-1};$

3) $y = \sqrt[6]{x^2(x-3)}.$

1) $y = \sqrt[3]{x-1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа подкоренного выражения.

Поэтому выражение $x-1$ может принимать любые значения.

Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[4]{|x|-1}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень четвертой степени). Корень четной степени определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения.

Следовательно, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю:

$|x| - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$|x| \ge 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge 1$ или $x \le -1$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух промежутков.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

3) $y = \sqrt[6]{x^2(x-3)}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень шестой степени). Корень четной степени определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения.

Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$x^2(x-3) \ge 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Рассмотрим два случая:

а) $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $x^2$, не меняя знака неравенства:

$x-3 \ge 0$

$x \ge 3$

б) $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$0^2(0-3) \ge 0$

$0 \cdot (-3) \ge 0$

$0 \ge 0$

Это верное неравенство, значит, $x=0$ также является решением.

Объединяя оба случая, получаем, что область определения функции состоит из точки $x=0$ и промежутка $[3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = \{0\} \cup [3; +\infty)$.

11.6. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x-2};$

2) $y = \sqrt[6]{x^2-4x+3};$

3) $y = \sqrt[10]{|x|(x-6)}.$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$), при которых функция имеет смысл.

1) $y = \sqrt[4]{x-2}$

Функция определена, если подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае — четвертой степени) неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x - 2 \ge 0$

Перенесем -2 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 2$

Следовательно, область определения функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$

Подкоренное выражение корня шестой степени (четной) должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Квадратичная функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут неотрицательными на промежутках, расположенных левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства:

$x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$

Это и есть область определения функции.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

3) $y = \sqrt[10]{|x|(x-6)}$

Аналогично предыдущим примерам, выражение под корнем четной (десятой) степени должно быть неотрицательным:

$|x|(x-6) \ge 0$

Выражение $|x|$ всегда неотрицательно ($|x| \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Рассмотрим два случая:

1. Если $x=0$, то $|x|=0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot (0-6) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное неравенство, значит, $x=0$ входит в область определения.

2. Если $x \ne 0$, то $|x| > 0$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|x|$, не меняя знака неравенства:

$x-6 \ge 0$

$x \ge 6$

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что функция определена при $x=0$ или при $x \ge 6$.

Ответ: $D(y) = \{0\} \cup [6; +\infty)$.

11.7. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[6]{x}-2$; 2) $y = \sqrt[3]{x}-3$; 3) $y = |\sqrt[8]{x}-1|$.

1) Дана функция $y = \sqrt[6]{x} - 2$. Область значений функции (range) — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Найдем сначала область значений выражения $\sqrt[6]{x}$. Корень шестой степени (четной степени) определен для $x \ge 0$ и его значения всегда неотрицательны. Таким образом, $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Минимальное значение $\sqrt[6]{x}$ равно 0 (при $x=0$), а максимальное значение не ограничено, то есть множество значений для $\sqrt[6]{x}$ есть $[0, +\infty)$. Функция $y$ получается вычитанием 2 из значений $\sqrt[6]{x}$. Если $\sqrt[6]{x} \ge 0$, то $\sqrt[6]{x} - 2 \ge 0 - 2$, то есть $y \ge -2$. Поскольку $\sqrt[6]{x}$ может быть сколь угодно большим, то и $y$ может быть сколь угодно большим. Следовательно, область значений функции — это промежуток $[-2, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [-2, +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt[3]{x} - 3$. Найдем область значений выражения $\sqrt[3]{x}$. Корень третьей степени (нечетной степени) определен для всех действительных чисел $x$, и его значения также охватывают все действительные числа. То есть, множество значений для $\sqrt[3]{x}$ есть $(-\infty, +\infty)$. Функция $y$ получается вычитанием константы 3 из значений $\sqrt[3]{x}$. Если из множества всех действительных чисел вычесть 3, то результатом снова будет множество всех действительных чисел. Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

3) Дана функция $y = |\sqrt[8]{x} - 1|$. Сначала рассмотрим выражение внутри модуля: $f(x) = \sqrt[8]{x} - 1$. Корень восьмой степени (четной степени) определен для $x \ge 0$, и его значения неотрицательны: $\sqrt[8]{x} \ge 0$. Тогда для выражения $\sqrt[8]{x} - 1$ имеем: $\sqrt[8]{x} - 1 \ge 0 - 1$, то есть $\sqrt[8]{x} - 1 \ge -1$. Таким образом, множество значений выражения под модулем есть $[-1, +\infty)$. Функция $y$ является абсолютным значением (модулем) этого выражения. Модуль любого числа всегда неотрицателен, то есть $y \ge 0$. Наименьшее значение $y$ равно 0. Оно достигается, когда выражение под модулем равно нулю: $\sqrt[8]{x} - 1 = 0$, что возможно при $x=1$. Поскольку выражение $\sqrt[8]{x} - 1$ может принимать сколь угодно большие положительные значения (когда $x \to +\infty$), его модуль также может принимать сколь угодно большие значения. Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.
Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

11.8. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} - 4;$

2) $y = \sqrt[5]{x} - 2;$

3) $y = |\sqrt[7]{x} + 1|.$

1) Дана функция $y = \sqrt[4]{x} - 4$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$ (корень четной степени) — это множество всех неотрицательных чисел. Это можно записать в виде неравенства: $\sqrt[4]{x} \ge 0$.
Чтобы найти область значений для исходной функции $y$, мы вычитаем 4 из обеих частей этого неравенства: $\sqrt[4]{x} - 4 \ge 0 - 4$
$y \ge -4$
Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -4.
Ответ: $E(y) = [-4; +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ (корень нечетной степени) — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$ получается путем сдвига графика функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ на 2 единицы вниз. Такой сдвиг не изменяет множество значений, которое остается множеством всех действительных чисел.
Пусть $\sqrt[5]{x} = z$, где $z$ может быть любым действительным числом. Тогда $y = z - 2$. Поскольку $z$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и $y$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) Дана функция $y = |\sqrt[7]{x} + 1|$.
Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля: $g(x) = \sqrt[7]{x} + 1$.
Область значений функции $f(x) = \sqrt[7]{x}$ (корень нечетной степени) — это множество всех действительных чисел, $(-\infty; +\infty)$.
Прибавление 1 к функции сдвигает ее график вверх, но не меняет ее область значений. Таким образом, область значений $g(x) = \sqrt[7]{x} + 1$ также является множеством всех действительных чисел.
Теперь применим операцию взятия модуля (абсолютного значения). Абсолютное значение любого действительного числа является неотрицательным. Поскольку выражение $\sqrt[7]{x} + 1$ может принимать любое действительное значение, его модуль будет принимать все неотрицательные значения.
$y = |\sqrt[7]{x} + 1| \ge 0$
Таким образом, область значений функции — это множество всех неотрицательных чисел.
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

11.9. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{3}$;

2) $\sqrt[4]{21}$;

3) $\sqrt[3]{100}$;

4) $-\sqrt[3]{81}$?

Для того чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится заданное число с корнем, нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется соответствующее неравенство. Для этого мы возводим предполагаемые целые числа в степень, равную показателю корня, и сравниваем результат с подкоренным выражением.

1) $\sqrt[3]{3}$

Нам нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$ таких, что $n < \sqrt[3]{3} < n+1$.
Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 3 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 3.
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Мы видим, что $1 < 3 < 8$.
Следовательно, $1^3 < 3 < 2^3$, что равносильно $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{8}$.
Таким образом, $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Число $\sqrt[3]{3}$ находится между целыми числами 1 и 2.
Ответ: между 1 и 2.

2) $\sqrt[4]{21}$

Ищем целые числа $n$ и $n+1$ такие, что $n < \sqrt[4]{21} < n+1$.
Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < 21 < (n+1)^4$.
Подберем целые числа, четвертые степени которых близки к 21.
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
Мы видим, что $16 < 21 < 81$.
Следовательно, $2^4 < 21 < 3^4$, что равносильно $\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{21} < \sqrt[4]{81}$.
Таким образом, $2 < \sqrt[4]{21} < 3$.
Число $\sqrt[4]{21}$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: между 2 и 3.

3) $\sqrt[3]{100}$

Ищем целые числа $n$ и $n+1$ такие, что $n < \sqrt[3]{100} < n+1$.
Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 100 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 100.
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
Мы видим, что $64 < 100 < 125$.
Следовательно, $4^3 < 100 < 5^3$, что равносильно $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{100} < \sqrt[3]{125}$.
Таким образом, $4 < \sqrt[3]{100} < 5$.
Число $\sqrt[3]{100}$ находится между целыми числами 4 и 5.
Ответ: между 4 и 5.

4) $-\sqrt[3]{81}$

Сначала найдем, между какими целыми положительными числами находится $\sqrt[3]{81}$.
Ищем целые числа $n$ и $n+1$ такие, что $n < \sqrt[3]{81} < n+1$.
Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 81 < (n+1)^3$.
Подберем целые числа, кубы которых близки к 81.
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
Мы видим, что $64 < 81 < 125$.
Следовательно, $4^3 < 81 < 5^3$, что равносильно $4 < \sqrt[3]{81} < 5$.
Теперь рассмотрим число $-\sqrt[3]{81}$. Умножим неравенство $4 < \sqrt[3]{81} < 5$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -\sqrt[3]{81} > -5$
Запишем это неравенство в порядке возрастания:
$-5 < -\sqrt[3]{81} < -4$
Число $-\sqrt[3]{81}$ находится между целыми числами -5 и -4.
Ответ: между -5 и -4.

11.10. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $ \sqrt[3]{18} $;

2) $ \sqrt[4]{139} $;

3) $ -\sqrt[3]{212} $?

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{18}$, нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{18} < n+1$.

Возведем все части этого неравенства в третью степень, так как функция $y=x^3$ является возрастающей. Получим эквивалентное неравенство:$n^3 < 18 < (n+1)^3$.

Теперь подберем целые числа, чьи кубы близки к 18:

• $1^3 = 1$
• $2^3 = 8$
• $3^3 = 27$

Из этих вычислений видно, что $8 < 18 < 27$. Это означает, что $2^3 < 18 < 3^3$. Извлекая кубический корень из всех частей этого неравенства, мы возвращаемся к исходному выражению:$2 < \sqrt[3]{18} < 3$.

Следовательно, число $\sqrt[3]{18}$ находится на координатной прямой между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[4]{139}$, найдем целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \sqrt[4]{139} < n+1$.

Возведем все части неравенства в четвертую степень. Так как функция $y=x^4$ является возрастающей для положительных $x$, неравенство сохранится:$n^4 < 139 < (n+1)^4$.

Подберем целые числа, чьи четвертые степени близки к 139:

• $1^4 = 1$
• $2^4 = 16$
• $3^4 = 81$
• $4^4 = 256$

Мы видим, что $81 < 139 < 256$. Значит, $3^4 < 139 < 4^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем:$3 < \sqrt[4]{139} < 4$.

Следовательно, число $\sqrt[4]{139}$ находится на координатной прямой между последовательными целыми числами 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

3) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $-\sqrt[3]{212}$, сначала определим положение положительного числа $\sqrt[3]{212}$.

Найдем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[3]{212} < n+1$. Возведем в куб все части неравенства:$n^3 < 212 < (n+1)^3$.

Подберем целые числа, чьи кубы близки к 212:

• $5^3 = 125$
• $6^3 = 216$

Из вычислений следует, что $125 < 212 < 216$. То есть, $5^3 < 212 < 6^3$. Извлекая кубический корень, получаем:$5 < \sqrt[3]{212} < 6$.

Теперь рассмотрим исходное отрицательное число. Умножим все части полученного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$-5 > -\sqrt[3]{212} > -6$.

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):$-6 < -\sqrt[3]{212} < -5$.

Таким образом, число $-\sqrt[3]{212}$ находится на координатной прямой между последовательными целыми числами -6 и -5.
Ответ: -6 и -5.

11.11. Решите уравнение:

1) $x^5 = 9;$

2) $x^7 = -2;$

3) $x^6 = 5;$

4) $\sqrt[4]{x} = 3;$

5) $\sqrt[6]{x} = -2;$

6) $\sqrt[3]{2x} + 7 = 0.$

1) Дано уравнение $x^5 = 9$. Так как показатель степени $5$ является нечетным числом, уравнение имеет единственный действительный корень. Чтобы найти его, извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения: $x = \sqrt[5]{9}$.
Ответ: $x = \sqrt[5]{9}$.

2) Дано уравнение $x^7 = -2$. Показатель степени $7$ — нечетное число. Уравнение вида $x^{n} = a$ при нечетном $n$ имеет единственный действительный корень $x = \sqrt[n]{a}$ при любом значении $a$. Извлекая корень седьмой степени из обеих частей, получаем: $x = \sqrt[7]{-2}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа можно записать как $x = -\sqrt[7]{2}$.
Ответ: $x = -\sqrt[7]{2}$.

3) Дано уравнение $x^6 = 5$. Так как показатель степени $6$ является четным числом, а правая часть уравнения — положительное число ($5 > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся извлечением корня шестой степени из обеих частей уравнения, при этом необходимо учесть оба знака: $x = \pm\sqrt[6]{5}$.
Ответ: $x = \pm\sqrt[6]{5}$.

4) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = 3$. Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в четвертую степень. Область допустимых значений для этого уравнения $x \ge 0$, так как корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Возводим обе части в степень 4: $(\sqrt[4]{x})^4 = 3^4$, что дает $x = 81$. Полученное значение $x = 81$ удовлетворяет ОДЗ ($81 \ge 0$).
Ответ: $x = 81$.

5) Дано уравнение $\sqrt[6]{x} = -2$. По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае шестой) является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Правая часть уравнения равна $-2$, что является отрицательным числом. Следовательно, равенство невозможно, и уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

6) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x} + 7 = 0$. Сначала изолируем радикал, перенеся 7 в правую часть: $\sqrt[3]{2x} = -7$. Так как корень нечетной степени (третьей), мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от радикала: $(\sqrt[3]{2x})^3 = (-7)^3$. Это дает $2x = -343$. Теперь решим линейное уравнение относительно $x$, разделив обе части на 2: $x = -\frac{343}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{343}{2}$.

11.12. Решите уравнение:

1) $x^9 = 10;$ 3) $x^6 = -64;$ 5) $\sqrt[5]{x} = -2;$

2) $x^{10} = 9;$ 4) $\sqrt[4]{x} = -2;$ 6) $\sqrt[4]{3x-2} = 2.$

1) Дано уравнение $x^9 = 10$.

Поскольку показатель степени 9 является нечетным числом, уравнение имеет один действительный корень. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень 9-й степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[9]{10}$

Ответ: $x = \sqrt[9]{10}$.

2) Дано уравнение $x^{10} = 9$.

Поскольку показатель степени 10 является четным числом, а правая часть уравнения (9) положительна, уравнение имеет два действительных корня. Чтобы найти $x$, извлечем корень 10-й степени из обеих частей уравнения.

$x = \pm \sqrt[10]{9}$

Упростим выражение: $\sqrt[10]{9} = \sqrt[10]{3^2} = 3^\frac{2}{10} = 3^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{3}$.

Следовательно, $x = \pm \sqrt[5]{3}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt[5]{3}$.

3) Дано уравнение $x^6 = -64$.

В левой части уравнения стоит переменная в четной степени. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным числом, то есть $x^6 \geq 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число (-64). Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = -2$.

Выражение $\sqrt[4]{x}$ является арифметическим корнем четвертой (четной) степени. По определению, значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным, то есть $\sqrt[4]{x} \geq 0$. Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

5) Дано уравнение $\sqrt[5]{x} = -2$.

Корень пятой (нечетной) степени может быть отрицательным числом. Для решения возведем обе части уравнения в пятую степень.

$(\sqrt[5]{x})^5 = (-2)^5$

$x = -32$

Ответ: $x = -32$.

6) Дано уравнение $\sqrt[4]{3x-2} = 2$.

Так как корень в уравнении четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3x - 2 \geq 0 \Rightarrow 3x \geq 2 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 2^4$

$3x - 2 = 16$

$3x = 18$

$x = 6$

Найденный корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \geq \frac{2}{3}$).

Ответ: $x = 6$.

11.13. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[3]{x})^3$;

2) $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

1) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[3]{x})^3$.

Область определения этой функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как корень нечетной (третьей) степени определен для любого действительного числа $x$.

По определению арифметического корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае для любого $x$ из области определения справедливо равенство $(\sqrt[3]{x})^3 = x$.

Таким образом, функция сводится к виду $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая линия, которая проходит через начало координат и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: График функции — прямая $y=x$.

2) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

Область определения этой функции ограничена, так как корень четной (четвертой) степени определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, область определения: $x \ge 0$, или $D(y) = [0; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) по свойству корня n-ой степени $(\sqrt[n]{a})^n = a$ справедливо равенство $(\sqrt[4]{x})^4 = x$.

Таким образом, функция сводится к виду $y = x$ при условии, что $x \ge 0$.

Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат $(0;0)$ и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции — луч $y=x$, где $x \ge 0$.

11.14. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[4]{\frac{|x|-1}{x^2-9}}$;

2) $\sqrt[8]{6-|x|} + \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}}$.

1) Область определения выражения $ \sqrt[4]{\frac{|x|-1}{x^2-9}} $ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \frac{|x|-1}{x^2-9} \ge 0 \\ x^2-9 \ne 0 \end{cases} $

Из второго условия получаем $ x^2 \ne 9 $, то есть $ x \ne 3 $ и $ x \ne -3 $.

Для решения первого неравенства $ \frac{|x|-1}{x^2-9} \ge 0 $ применим метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нули числителя: $ |x|-1 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = -1 $ или $ x = 1 $.

Нули знаменателя: $ x^2-9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = -3 $ или $ x = 3 $.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точки $ x = -1 $ и $ x = 1 $ включаем в решение (закрашенные), так как неравенство нестрогое. Точки $ x = -3 $ и $ x = 3 $ исключаем (выколотые), так как они обращают знаменатель в ноль.

Определим знак выражения $ f(x) = \frac{|x|-1}{x^2-9} $ на каждом из полученных интервалов:

• Интервал $ (-\infty; -3) $: возьмем $ x=-4 $. $ f(-4) = \frac{|-4|-1}{(-4)^2-9} = \frac{3}{7} > 0 $. Интервал подходит.
• Интервал $ (-3; -1] $: возьмем $ x=-2 $. $ f(-2) = \frac{|-2|-1}{(-2)^2-9} = \frac{1}{-5} < 0 $. Интервал не подходит.
• Интервал $ [-1; 1] $: возьмем $ x=0 $. $ f(0) = \frac{|0|-1}{0^2-9} = \frac{-1}{-9} > 0 $. Интервал подходит.
• Интервал $ [1; 3) $: возьмем $ x=2 $. $ f(2) = \frac{|2|-1}{2^2-9} = \frac{1}{-5} < 0 $. Интервал не подходит.
• Интервал $ (3; +\infty) $: возьмем $ x=4 $. $ f(4) = \frac{|4|-1}{4^2-9} = \frac{3}{7} > 0 $. Интервал подходит.

Объединяя все подходящие промежутки, получаем область определения выражения.

Ответ: $ (-\infty; -3) \cup [-1; 1] \cup (3; +\infty) $.

2) Область определения выражения $ \sqrt[8]{6-|x|} + \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}} $ является пересечением областей определения каждого из двух слагаемых.

Найдем область определения для первого слагаемого $ \sqrt[8]{6-|x|} $. Так как корень имеет четную степень (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$ 6 - |x| \ge 0 $

$ |x| \le 6 $

Это неравенство равносильно $ -6 \le x \le 6 $, то есть $ x \in [-6; 6] $.

Теперь найдем область определения для второго слагаемого $ \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}} $. Здесь корень четной степени (4) находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$ 3 - x > 0 $

$ x < 3 $, то есть $ x \in (-\infty; 3) $.

Для нахождения области определения исходного выражения найдем пересечение полученных множеств:

$ \begin{cases} -6 \le x \le 6 \\ x < 3 \end{cases} $

Решением этой системы является промежуток $ [-6; 3) $.

Ответ: $ [-6; 3) $.