Номер 11.18, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.18. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[4]{x-1})^4 + (\sqrt[4]{1-x})^4 + 1;$

2) $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6.$

1) $y = (\sqrt[4]{x-1})^4 + (\sqrt[4]{1-x})^4 + 1$

Найдем область определения функции. Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому должны одновременно выполняться два условия:

$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases} $

Единственным числом, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x = 1$. Следовательно, область определения функции состоит из одной точки.

Найдем значение функции в этой точке, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$y(1) = (\sqrt[4]{1-1})^4 + (\sqrt[4]{1-1})^4 + 1 = (\sqrt[4]{0})^4 + (\sqrt[4]{0})^4 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, график данной функции состоит из одной-единственной точки с координатами $(1; 1)$.

Ответ: Графиком функции является точка $(1; 1)$.

2) $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6$

Найдем область определения функции. Аналогично предыдущему пункту, подкоренные выражения для корней четной степени должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим систему:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{cases} $

Решением системы является отрезок $x \in [0; 1]$. Это и есть область определения функции.

Для всех $x$ из области определения $[0; 1]$ подкоренные выражения $x$ и $1-x$ неотрицательны. Поэтому мы можем использовать тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $a \ge 0$.

Упростим выражение для функции:

$y = x + (1-x) = x + 1 - x = 1$.

Таким образом, для всех $x$ из отрезка $[0; 1]$ функция принимает значение $y=1$.

Графиком функции является отрезок прямой $y=1$, концами которого являются точки с абсциссами $x=0$ и $x=1$, то есть точки $(0; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок с концами в точках $(0; 1)$ и $(1; 1)$.