Номер 11.22, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.22. Решите неравенство:

1) $\sqrt[3]{3x+1} < 4$;

2) $\sqrt[8]{4x+1} \le 1$;

3) $\sqrt[4]{x^2-8} > \sqrt[4]{2x}$.

1) $\sqrt[3]{3x+1} < 4$

Поскольку корень имеет нечетную степень (3), область допустимых значений переменной $x$ — все действительные числа. Для решения неравенства возведем обе его части в третью степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется.

$(\sqrt[3]{3x+1})^3 < 4^3$

$3x+1 < 64$

Перенесем 1 в правую часть:

$3x < 64 - 1$

$3x < 63$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{63}{3}$

$x < 21$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 21)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 21)$.

2) $\sqrt[8]{4x+1} \le 1$

Так как корень имеет четную степень (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$4x+1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{4}; +\infty)$.

На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны. Мы можем возвести их в восьмую степень, при этом знак неравенства сохранится.

$(\sqrt[8]{4x+1})^8 \le 1^8$

$4x+1 \le 1$

$4x \le 1 - 1$

$4x \le 0$

$x \le 0$

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \le 0$ с областью допустимых значений $x \ge -\frac{1}{4}$:

$\begin{cases} x \ge -\frac{1}{4} \\ x \le 0 \end{cases}$

Общим решением является промежуток $[-\frac{1}{4}; 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}; 0]$.

3) $\sqrt[4]{x^2-8} > \sqrt[4]{2x}$

Так как корни имеют четную степень (4), оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 8 \ge 0 \\ 2x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 8$. Его решения: $x \le -\sqrt{8}$ или $x \ge \sqrt{8}$. То есть $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}; \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Найдем пересечение этих двух условий. Общим решением системы является промежуток $[2\sqrt{2}; \infty)$. Это и есть ОДЗ.

На области допустимых значений обе части исходного неравенства неотрицательны. Возведем их в четвертую степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[4]{x^2-8})^4 > (\sqrt[4]{2x})^4$

$x^2-8 > 2x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2-2x-8 > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2-2x-8=0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1=4$ и $x_2=-2$.

Графиком функции $y=x^2-2x-8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \ge 2\sqrt{2}$):

$\begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty) \\ x \ge 2\sqrt{2} \end{cases}$

Учитывая, что $2\sqrt{2} = \sqrt{8} \approx 2.828$, промежуток $(-\infty; -2)$ не пересекается с ОДЗ. Пересечением множества $(4; \infty)$ и $[2\sqrt{2}; \infty)$ является интервал $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (4; \infty)$.