Номер 11.19, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.19. Постройте график функции:

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^4$;

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$.

1) $y = x(\sqrt[4]{x})^4$

Сначала найдем область определения функции. Корень четвертой степени (четной степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, поэтому должно выполняться условие $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

Теперь упростим данную функцию. Для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) справедливо тождество $(\sqrt[4]{x})^4 = x$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = x \cdot x = x^2$

Следовательно, нам нужно построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$. Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в начале координат. Учитывая ограничение $x \ge 0$, мы строим только ту часть параболы, которая находится в первой координатной четверти (и в начале координат).

Это правая ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и проходящая, например, через точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$.

Ответ: График функции – это правая ветвь параболы $y = x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$.

2) $y = (\sqrt[8]{2+x})^8 + (\sqrt[6]{2-x})^6$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражения под корнями четной степени (корень 8-й и 6-й степени) должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2+x \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции $D(y) = [-2, 2]$.

Теперь упростим функцию на ее области определения. По свойству корня четной степени, $(\sqrt[2n]{a})^{2n} = a$ для всех $a \ge 0$. Поскольку для всех $x \in [-2, 2]$ оба подкоренных выражения ($2+x$ и $2-x$) неотрицательны, мы можем упростить каждый член в исходном выражении:

$y = (2+x) + (2-x)$

$y = 2 + x + 2 - x = 4$

Таким образом, функция эквивалентна $y = 4$ на отрезке $[-2, 2]$. Графиком этой функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс (оси Ox), проходящий на высоте 4 единицы. Концами этого отрезка являются точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: График функции – это отрезок прямой $y=4$ при $x \in [-2, 2]$.