Номер 11.23, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.23. Решите неравенство:

1) $ \sqrt[10]{x+2} > 1 $;

2) $ \sqrt[4]{5x+1} < 3 $;

3) $ \sqrt[8]{x^2-|x|+1} > \sqrt[8]{5-|x|} $.

1) $\sqrt[10]{x+2} > 1$

Данное неравенство является иррациональным.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$x + 2 \ge 0$
$x \ge -2$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в 10-ю степень, сохраняя знак неравенства:
$(\sqrt[10]{x+2})^{10} > 1^{10}$
$x + 2 > 1$
$x > 1 - 2$
$x > -1$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -2 \\ x > -1 \end{cases}$
Общим решением является $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) $\sqrt[4]{5x+1} < 3$

Это иррациональное неравенство.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$5x + 1 \ge 0$
$5x \ge -1$
$x \ge -1/5$

Левая часть неравенства по определению неотрицательна ($\sqrt[4]{5x+1} \ge 0$), а правая часть положительна. Следовательно, мы можем возвести обе части в 4-ю степень:
$(\sqrt[4]{5x+1})^4 < 3^4$
$5x + 1 < 81$
$5x < 80$
$x < 16$

Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -1/5 \\ x < 16 \end{cases}$
Общим решением является $-1/5 \le x < 16$.

Ответ: $x \in [-1/5; 16)$.

3) $\sqrt[8]{x^2 - |x| + 1} > \sqrt[8]{5 - |x|}$

Данное иррациональное неравенство содержит корни одинаковой четной степени.

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x^2 - |x| + 1 \ge 0 \\ 5 - |x| \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство системы: $x^2 - |x| + 1 \ge 0$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получим квадратное неравенство $t^2 - t + 1 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как старший коэффициент (1) положителен, а дискриминант отрицателен, трехчлен $t^2 - t + 1$ всегда положителен. Следовательно, первое неравенство выполняется для любых $x$.

Рассмотрим второе неравенство системы: $5 - |x| \ge 0$.
$|x| \le 5$
$-5 \le x \le 5$

Таким образом, ОДЗ всего неравенства: $x \in [-5; 5]$.

Так как функция $y = \sqrt[8]{u}$ является возрастающей, мы можем сравнить подкоренные выражения, сохранив знак неравенства:
$x^2 - |x| + 1 > 5 - |x|$
Прибавим $|x|$ к обеим частям:
$x^2 + 1 > 5$
$x^2 > 4$
$x^2 - 4 > 0$
$(x-2)(x+2) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \in [-5; 5]$):
$\begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \\ x \in [-5; 5] \end{cases}$
Пересечением будет $[-5; -2) \cup (2; 5]$.

Ответ: $x \in [-5; -2) \cup (2; 5]$.