Номер 11.28, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.28. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y}, \\ x^2 + xy + y^2 = 27. \end{cases}$$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y} \\ x^2 + xy + y^2 = 27 \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия корней шестой степени $\sqrt[6]{x}$ и $\sqrt[6]{y}$ подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Следовательно, $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x + \sqrt[6]{x} = y + \sqrt[6]{y}$. Введем функцию $f(t) = t + \sqrt[6]{t}$, которая определена для $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно переписать в виде $f(x) = f(y)$.

Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(t) = (t + t^{1/6})' = 1 + \frac{1}{6}t^{1/6 - 1} = 1 + \frac{1}{6}t^{-5/6} = 1 + \frac{1}{6\sqrt[6]{t^5}}$.

Для всех $t > 0$ производная $f'(t)$ строго положительна, так как $1 > 0$ и $\frac{1}{6\sqrt[6]{t^5}} > 0$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$. Таким образом, из первого уравнения системы следует, что $x=y$.

Теперь мы можем подставить $y = x$ во второе уравнение системы: $x^2 + x \cdot x + x^2 = 27$

Упростим и решим полученное уравнение: $3x^2 = 27$ $x^2 = 9$ Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Вспомним об ОДЗ, согласно которому $x \ge 0$. Поэтому решение $x = -3$ не подходит. Единственным допустимым решением является $x = 3$.

Так как $y = x$, то $y = 3$.

Итак, мы получили единственное решение системы: $(3, 3)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходные уравнения: $$ \begin{cases} 3 + \sqrt[6]{3} = 3 + \sqrt[6]{3} \\ 3^2 + 3 \cdot 3 + 3^2 = 27 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3 + \sqrt[6]{3} = 3 + \sqrt[6]{3} \quad (\text{верно}) \\ 9 + 9 + 9 = 27 \quad (\text{верно}) \end{cases} $$ Оба уравнения обращаются в верные равенства, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 3)$.