Номер 12.8, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.8. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{3\sqrt{3}};$

2) $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}};$

3) $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}};$

4) $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями. Этот метод позволяет систематически применять свойства степеней.

Сначала преобразуем внутреннее выражение $3\sqrt{3}$, записав квадратный корень как степень $\frac{1}{2}$:

$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:

$3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}}$

Далее, представим кубический корень как возведение в степень $\frac{1}{3}$ и воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}$

Наконец, преобразуем полученную степень обратно в корень:

$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

2)

Упростим выражение $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$, используя степени с рациональными показателями. Предполагается, что переменная $b$ принимает неотрицательные значения ($b \ge 0$).

Преобразуем выражение под кубическим корнем, представив корень четвертой степени как степень $\frac{1}{4}$:

$b\sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}}$

Применяя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней:

$b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1+\frac{1}{4}} = b^{\frac{4}{4}+\frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}}$

Подставим результат в исходное выражение:

$\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}}$

Теперь преобразуем кубический корень в степень $\frac{1}{3}$ и воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}} = (b^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{12}}$

Запишем итоговое выражение в виде корня:

$b^{\frac{5}{12}} = \sqrt[12]{b^5}$

Ответ: $\sqrt[12]{b^5}$

3)

Упростим выражение $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}$, используя степени с рациональными показателями. Предполагается, что $x \ge 0$.

Начнем с преобразования выражения под корнем пятой степени. Представим внутренний корень шестой степени как степень $\frac{1}{6}$:

$x^2\sqrt[6]{x^{13}} = x^2 \cdot (x^{13})^{\frac{1}{6}} = x^2 \cdot x^{\frac{13}{6}}$

Сложим показатели степеней по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^2 \cdot x^{\frac{13}{6}} = x^{2+\frac{13}{6}} = x^{\frac{12}{6}+\frac{13}{6}} = x^{\frac{25}{6}}$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\sqrt[5]{x^{\frac{25}{6}}}$

Преобразуем корень пятой степени в степень $\frac{1}{5}$ и применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^{\frac{25}{6}})^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{25}{6} \cdot \frac{1}{5}} = x^{\frac{25}{30}} = x^{\frac{5}{6}}$

Запишем результат в виде корня:

$x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5}$

Ответ: $\sqrt[6]{x^5}$

4)

Упростим выражение $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a}}}$. Для этого будем последовательно преобразовывать выражение, двигаясь от самого внутреннего корня к внешнему. Предполагается, что $a \ge 0$.

Шаг 1: Упростим самое внутреннее выражение $a^3\sqrt[3]{a}$.

$a^3\sqrt[3]{a} = a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{3+\frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{10}{3}}$

Шаг 2: Подставим результат в следующий по вложенности корень. Выражение принимает вид $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a^{\frac{10}{3}}}}$. Упростим $\sqrt[4]{a^{\frac{10}{3}}}$.

$\sqrt[4]{a^{\frac{10}{3}}} = (a^{\frac{10}{3}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{10}{12}} = a^{\frac{5}{6}}$

Шаг 3: Подставим полученное выражение в оставшуюся часть. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[4]{a \cdot a^{\frac{5}{6}}}$. Упростим подкоренное выражение.

$a \cdot a^{\frac{5}{6}} = a^1 \cdot a^{\frac{5}{6}} = a^{1+\frac{5}{6}} = a^{\frac{6}{6}+\frac{5}{6}} = a^{\frac{11}{6}}$

Шаг 4: Наконец, вычислим значение внешнего корня.

$\sqrt[4]{a^{\frac{11}{6}}} = (a^{\frac{11}{6}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{11}{6} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{11}{24}}$

Запишем итоговый результат в виде корня:

$a^{\frac{11}{24}} = \sqrt[24]{a^{11}}$

Ответ: $\sqrt[24]{a^{11}}$