Номер 12.6, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.6. Внесите множитель под знак корня:

1) $0,25 \sqrt[3]{320}$;

2) $2 \sqrt[4]{7}$;

3) $5 \sqrt[4]{4a}$;

4) $2x^3 \sqrt[5]{0,25x^3}$.

1) Чтобы внести множитель 0,25 под знак кубического корня, его нужно возвести в третью степень и умножить на подкоренное выражение.

$0,25\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{(0,25)^3 \cdot 320}$

Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби $1/4$ и возведем ее в куб:

$(0,25)^3 = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$

Теперь умножим полученный результат на подкоренное выражение:

$\sqrt[3]{\frac{1}{64} \cdot 320} = \sqrt[3]{\frac{320}{64}} = \sqrt[3]{5}$

Ответ: $\sqrt[3]{5}$

2) Чтобы внести множитель 2 под знак корня четвертой степени, его нужно возвести в четвертую степень и умножить на подкоренное выражение.

$2\sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 7}$

Вычислим значение $2^4$:

$2^4 = 16$

Теперь выполним умножение под знаком корня:

$\sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112}$

Ответ: $\sqrt[4]{112}$

3) Чтобы внести множитель 5 под знак корня четвертой степени, его нужно возвести в четвертую степень и умножить на подкоренное выражение. Следует учесть, что выражение имеет смысл при $a \ge 0$.

$5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 4a}$

Вычислим значение $5^4$:

$5^4 = 625$

Теперь выполним умножение под знаком корня:

$\sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a}$

Ответ: $\sqrt[4]{2500a}$

4) Чтобы внести множитель $2x^3$ под знак корня пятой степени, его нужно возвести в пятую степень и умножить на подкоренное выражение. Поскольку степень корня нечетная, знак множителя не влияет на операцию.

$2x^3\sqrt[5]{0,25x^3} = \sqrt[5]{(2x^3)^5 \cdot 0,25x^3}$

Возведем множитель в пятую степень:

$(2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32x^{15}$

Теперь выполним умножение под знаком корня:

$\sqrt[5]{32x^{15} \cdot 0,25x^3} = \sqrt[5]{(32 \cdot 0,25) \cdot (x^{15} \cdot x^3)}$

Выполним вычисления для коэффициентов и степеней переменной:

$32 \cdot 0,25 = 8$

$x^{15} \cdot x^3 = x^{15+3} = x^{18}$

Итоговое выражение под корнем будет $8x^{18}$.

Ответ: $\sqrt[5]{8x^{18}}$