Номер 12.11, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.11. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$;

2) $\frac{\sqrt[6]{x}-9}{\sqrt[12]{x}+3}$;

3) $\frac{\sqrt[8]{ab^2}-\sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}$;

4) $\frac{\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt[3]{x}+16}{x-64}$;

5) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}}$;

6) $\frac{2-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$, представим числитель как разность квадратов. Поскольку $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$, мы можем применить формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Числитель: $\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.
Теперь подставим это выражение в дробь:
$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$
Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3}$. Аналогично предыдущему примеру, представим числитель как разность квадратов. Учтем, что $\sqrt[6]{x} = (\sqrt[12]{x})^2$ и $9 = 3^2$.
Числитель: $\sqrt[6]{x} - 9 = (\sqrt[12]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}{\sqrt[12]{x} + 3}$
Сокращаем на общий множитель $(\sqrt[12]{x} + 3)$ и получаем:
$\sqrt[12]{x} - 3$.
Ответ: $\sqrt[12]{x} - 3$.

3) Упростим дробь $\frac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt[8]{ab}$:
$\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b} = \sqrt[8]{ab \cdot b} - \sqrt[8]{ab \cdot a} = \sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})$.
Знаменатель представим в виде разности квадратов, так как $\sqrt[4]{a} = (\sqrt[8]{a})^2$ и $\sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{b})^2$:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{a})^2 - (\sqrt[8]{b})^2 = (\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})$.
Теперь дробь выглядит так:
$\frac{\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$
Заменим в числителе $(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})$ на $-(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$:
$\frac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$
Сократив на $(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$, получаем:
$\frac{-\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.
Ответ: $\frac{-\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64}$.
Знаменатель $x - 64$ является разностью кубов: $x - 64 = (\sqrt[3]{x})^3 - 4^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x - 64 = (\sqrt[3]{x} - 4)((\sqrt[3]{x})^2 + 4\sqrt[3]{x} + 4^2) = (\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)}$
Сокращаем дробь на выражение $(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$.

5) Сократим дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}}$.
Знаменатель похож на неполный квадрат разности, а числитель — на сумму кубов. Введем замену: $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$.
Тогда числитель: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = (\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3 = x^3 + y^3$.
Знаменатель: $\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} + (\sqrt[6]{b})^2 = x^2 - xy + y^2$.
Дробь принимает вид $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2}$.
Используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, получаем:
$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2} = x + y$.
Вернемся к исходным переменным:
$x + y = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.

6) Упростим выражение $\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$.
Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{2}{\sqrt[3]{2}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} - 1$.
Упростим первое слагаемое, представив 2 как $2^1$, а $\sqrt[3]{2}$ как $2^{1/3}$:
$\frac{2^1}{2^{1/3}} = 2^{1 - 1/3} = 2^{2/3}$.
Запишем результат в виде корня: $2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
Таким образом, окончательное выражение:
$\sqrt[3]{4} - 1$.
Ответ: $\sqrt[3]{4} - 1$.