Номер 12.3, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{162};$

2) $\sqrt[3]{250};$

3) $\sqrt[3]{-a^7};$

4) $\sqrt[3]{-54a^5b^9}.$

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{162}$, необходимо разложить подкоренное число 162 на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.

Разложим 162 на простые множители: $162 = 2 \times 81$.

Заметим, что $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$.

Таким образом, $162 = 3^4 \times 2$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{3^4 \times 2}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$), получаем:

$\sqrt[4]{3^4 \times 2} = \sqrt[4]{3^4} \times \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

2) В выражении $\sqrt[3]{250}$ нужно найти множитель, являющийся точным кубом.

Разложим число 250 на множители: $250 = 25 \times 10 = (5 \times 5) \times (5 \times 2) = 5^3 \times 2$.

Или можно заметить, что $250 = 125 \times 2$, где $125$ это $5^3$.

Подставим разложение в корень:

$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \times 2}$

Применим свойство корня:

$\sqrt[3]{5^3 \times 2} = \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{-a^7}$. Так как корень нечетной степени (кубический), знак "минус" можно вынести за знак корня.

$\sqrt[3]{-a^7} = \sqrt[3]{-1 \cdot a^7} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{a^7} = -1 \cdot \sqrt[3]{a^7} = -\sqrt[3]{a^7}$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt[3]{a^7}$. Для этого представим $a^7$ в виде произведения, где один из множителей будет иметь степень, кратную 3.

$a^7 = a^{6+1} = a^6 \cdot a$.

Тогда:

$-\sqrt[3]{a^7} = -\sqrt[3]{a^6 \cdot a} = -(\sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{a})$.

Поскольку $\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2$, получаем:

$-(a^2 \cdot \sqrt[3]{a}) = -a^2\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $-a^2\sqrt[3]{a}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{-54a^5b^9}$ по частям.

1. Числовой коэффициент $-54$. Разложим его на множители, выделив точный куб:

$-54 = -27 \times 2 = (-3)^3 \times 2$.

2. Переменная $a$ в степени 5. Представим степень 5 как сумму числа, кратного 3, и остатка:

$a^5 = a^{3+2} = a^3 \cdot a^2$.

3. Переменная $b$ в степени 9. Степень 9 уже кратна 3:

$b^9 = (b^3)^3$.

Теперь объединим все разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{-54a^5b^9} = \sqrt[3]{((-3)^3 \cdot 2) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^3)^3}$.

Сгруппируем множители, которые являются точными кубами:

$\sqrt[3]{((-3)^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3) \cdot (2 \cdot a^2)} = \sqrt[3]{(-3ab^3)^3 \cdot 2a^2}$.

Вынесем множитель $(-3ab^3)^3$ из-под знака кубического корня:

$\sqrt[3]{(-3ab^3)^3} \cdot \sqrt[3]{2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.

Ответ: $-3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.