Номер 10.8, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.8. Определите графически количество решений системы уравнений:

1)

2)

1) Для определения количества решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^{-6} \\ y = 4 - x^2 \end{cases}$ построим графики функций $y = x^{-6}$ и $y = 4 - x^2$ в одной системе координат.

Анализ функции $y = x^{-6} = \frac{1}{x^6}$
- Область определения: $x \neq 0$.
- Функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^6} = \frac{1}{x^6} = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (Oy).
- Так как $x^6 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $y > 0$ при всех $x$ из области определения. График расположен в I и II координатных четвертях.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$.
- Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$.

Анализ функции $y = 4 - x^2$
- Это квадратичная функция, график которой — парабола.
- Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$).
- Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
- Ось симметрии — ось Oy.
- Пересечения с осью Ox: $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Графическое решение
Построим эскизы графиков. Оба графика симметричны относительно оси Oy, поэтому достаточно рассмотреть их поведение при $x > 0$ и затем удвоить количество найденных пересечений.
При $x > 0$:
- График $y = 1/x^6$ убывает от $+\infty$ до $0$.
- График $y = 4 - x^2$ — правая ветвь параболы, которая убывает от вершины $(0, 4)$ до пересечения с осью Ox в точке $(2, 0)$ и далее уходит в отрицательные значения $y$.
- Сравним значения функций в некоторых точках:
- При $x \to 0^+$, $1/x^6 \to +\infty$, а $4 - x^2 \to 4$. Значит, график $y=1/x^6$ находится выше параболы.
- При $x=1$, $y = 1/1^6 = 1$, а $y = 4 - 1^2 = 3$. Парабола находится выше.
- Так как на интервале $(0, 1)$ произошло изменение взаимного расположения непрерывных графиков, то на этом интервале есть одна точка пересечения.
- При $x=2$, $y = 1/2^6 = 1/64$, а $y = 4 - 2^2 = 0$. График $y=1/x^6$ находится выше параболы.
- Так как на интервале $(1, 2)$ снова произошло изменение взаимного расположения, то здесь есть еще одна точка пересечения.
Таким образом, при $x > 0$ графики пересекаются в двух точках. В силу симметрии обоих графиков относительно оси Oy, при $x < 0$ они также пересекаются в двух точках. Всего получается четыре точки пересечения.

Ответ: 4 решения.

2) Для определения количества решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^{-3} \\ y = x^3 + 3 \end{cases}$ построим графики функций $y = x^{-3}$ и $y = x^3 + 3$ в одной системе координат.

Анализ функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$
- Область определения: $x \neq 0$.
- Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = -\frac{1}{x^3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- При $x > 0$, $y > 0$ (I четверть). При $x < 0$, $y < 0$ (III четверть).
- Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$.
- Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

Анализ функции $y = x^3 + 3$
- Это кубическая функция. Ее график — кубическая парабола $y=x^3$, смещенная на 3 единицы вверх по оси Oy.
- Функция является возрастающей на всей области определения, так как ее производная $y' = 3x^2 \ge 0$.
- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
- Пересечение с осью Ox: $x^3 + 3 = 0 \implies x^3 = -3 \implies x = -\sqrt[3]{3} \approx -1.44$. Точка $(-\sqrt[3]{3}, 0)$.

Графическое решение
Построим эскизы графиков. Рассмотрим поведение функций на двух интервалах: $x > 0$ и $x < 0$.
- При $x > 0$:
- График $y = 1/x^3$ убывает от $+\infty$ до $0$.
- График $y = x^3 + 3$ возрастает от $y=3$ (при $x \to 0^+$) до $+\infty$.
- При $x \to 0^+$, $1/x^3 \to +\infty$, а $x^3+3 \to 3$. То есть, график $y=1/x^3$ находится выше.
- При $x=1$, $y = 1/1^3 = 1$, а $y = 1^3 + 3 = 4$. График $y=x^3+3$ находится выше.
- Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает на интервале $(0, +\infty)$, и их взаимное расположение меняется, они могут пересечься только один раз. Следовательно, при $x > 0$ есть одно решение.
- При $x < 0$:
- График $y = 1/x^3$ возрастает от $-\infty$ до $0$. Он полностью находится в III четверти ($y < 0$).
- График $y = x^3 + 3$ возрастает от $-\infty$ до $3$ (при $x \to 0^-$). Он пересекает ось Ox в точке $x = -\sqrt[3]{3}$. Таким образом, он находится в III четверти при $x < -\sqrt[3]{3}$ и во II четверти при $-\sqrt[3]{3} < x < 0$.
- Пересечение возможно только там, где оба графика находятся в III четверти, то есть при $x < -\sqrt[3]{3}$.
- При $x \to -\infty$, $1/x^3 \to 0$, а $x^3 + 3 \to -\infty$. График $y=1/x^3$ находится выше.
- В точке $x = -\sqrt[3]{3}$, $y = 1/(-\sqrt[3]{3})^3 = -1/3$, а $y = (-\sqrt[3]{3})^3 + 3 = 0$. График $y=x^3+3$ находится выше.
- Так как на интервале $(-\infty, -\sqrt[3]{3})$ произошло изменение взаимного расположения графиков, и обе функции на этом интервале возрастают (хотя и с разной скоростью), они пересекаются. Поскольку разность $y=(x^3+3) - (1/x^3)$ является строго возрастающей функцией при $x<0$, пересечение может быть только одно.
Всего получается две точки пересечения: одна при $x > 0$ и одна при $x < 0$.

Ответ: 2 решения.