Страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-3}$ на промежутке:

1) $[ \frac{1}{3}; 2 ]$;

2) $[ -2; -1 ]$;

3) $( -\infty; -3 ]$;

4) $( 0; 2 ]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^{-3}$ на различных промежутках, сначала исследуем ее свойства.

Функция $f(x) = x^{-3}$ может быть записана как $f(x) = \frac{1}{x^3}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы монотонности:

$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Поскольку $x^4 > 0$ для любого $x$ из области определения, производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$). Это означает, что функция $f(x) = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Данный промежуток является замкнутым отрезком и полностью лежит в интервале $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Для строго убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой конечной точке ($x=a$), а наименьшее — в правой ($x=b$).

Наибольшее значение:$f_{наиб.} = f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: наибольшее значение равно 27, наименьшее значение равно $\frac{1}{8}$.

Данный промежуток является замкнутым отрезком и полностью лежит в интервале $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает. Как и в предыдущем случае, наибольшее значение будет в левой конечной точке, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение:$f_{наиб.} = f(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^3} = -1$.

Ответ: наибольшее значение равно $-\frac{1}{8}$, наименьшее значение равно $-1$.

На этом промежутке функция также строго убывает. Так как для любого $x$ из промежутка $(-\infty; -3]$ выполняется $x \le -3$, то в силу убывания функции имеем $f(x) \ge f(-3)$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = -3$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(-3) = (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}$.

Чтобы найти наибольшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$:$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^3} = 0$. Значения функции стремятся к 0 (оставаясь отрицательными), но никогда его не достигают. Множество значений функции на данном промежутке есть $[-\frac{1}{27}; 0)$. Таким образом, наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $-\frac{1}{27}$, наибольшего значения не существует.

На этом промежутке функция строго убывает. Для любого $x$ из промежутка $(0; 2]$ выполняется $0 < x \le 2$, следовательно $f(x) \ge f(2)$. Значит, наименьшее значение функция принимает в точке $x = 2$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Чтобы найти наибольшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to 0$ справа ($x \to 0^+$):$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = +\infty$. Функция неограниченно возрастает при приближении $x$ к 0, поэтому наибольшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{1}{8}$, наибольшего значения не существует.

10.8. Определите графически количество решений системы уравнений:

1)

2)

1) Для определения количества решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^{-6} \\ y = 4 - x^2 \end{cases}$ построим графики функций $y = x^{-6}$ и $y = 4 - x^2$ в одной системе координат.

Анализ функции $y = x^{-6} = \frac{1}{x^6}$
- Область определения: $x \neq 0$.
- Функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^6} = \frac{1}{x^6} = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (Oy).
- Так как $x^6 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $y > 0$ при всех $x$ из области определения. График расположен в I и II координатных четвертях.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$.
- Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$.

Анализ функции $y = 4 - x^2$
- Это квадратичная функция, график которой — парабола.
- Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$).
- Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
- Ось симметрии — ось Oy.
- Пересечения с осью Ox: $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Графическое решение
Построим эскизы графиков. Оба графика симметричны относительно оси Oy, поэтому достаточно рассмотреть их поведение при $x > 0$ и затем удвоить количество найденных пересечений.
При $x > 0$:
- График $y = 1/x^6$ убывает от $+\infty$ до $0$.
- График $y = 4 - x^2$ — правая ветвь параболы, которая убывает от вершины $(0, 4)$ до пересечения с осью Ox в точке $(2, 0)$ и далее уходит в отрицательные значения $y$.
- Сравним значения функций в некоторых точках:
- При $x \to 0^+$, $1/x^6 \to +\infty$, а $4 - x^2 \to 4$. Значит, график $y=1/x^6$ находится выше параболы.
- При $x=1$, $y = 1/1^6 = 1$, а $y = 4 - 1^2 = 3$. Парабола находится выше.
- Так как на интервале $(0, 1)$ произошло изменение взаимного расположения непрерывных графиков, то на этом интервале есть одна точка пересечения.
- При $x=2$, $y = 1/2^6 = 1/64$, а $y = 4 - 2^2 = 0$. График $y=1/x^6$ находится выше параболы.
- Так как на интервале $(1, 2)$ снова произошло изменение взаимного расположения, то здесь есть еще одна точка пересечения.
Таким образом, при $x > 0$ графики пересекаются в двух точках. В силу симметрии обоих графиков относительно оси Oy, при $x < 0$ они также пересекаются в двух точках. Всего получается четыре точки пересечения.

Ответ: 4 решения.

2) Для определения количества решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^{-3} \\ y = x^3 + 3 \end{cases}$ построим графики функций $y = x^{-3}$ и $y = x^3 + 3$ в одной системе координат.

Анализ функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$
- Область определения: $x \neq 0$.
- Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = -\frac{1}{x^3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- При $x > 0$, $y > 0$ (I четверть). При $x < 0$, $y < 0$ (III четверть).
- Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$.
- Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

Анализ функции $y = x^3 + 3$
- Это кубическая функция. Ее график — кубическая парабола $y=x^3$, смещенная на 3 единицы вверх по оси Oy.
- Функция является возрастающей на всей области определения, так как ее производная $y' = 3x^2 \ge 0$.
- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
- Пересечение с осью Ox: $x^3 + 3 = 0 \implies x^3 = -3 \implies x = -\sqrt[3]{3} \approx -1.44$. Точка $(-\sqrt[3]{3}, 0)$.

Графическое решение
Построим эскизы графиков. Рассмотрим поведение функций на двух интервалах: $x > 0$ и $x < 0$.
- При $x > 0$:
- График $y = 1/x^3$ убывает от $+\infty$ до $0$.
- График $y = x^3 + 3$ возрастает от $y=3$ (при $x \to 0^+$) до $+\infty$.
- При $x \to 0^+$, $1/x^3 \to +\infty$, а $x^3+3 \to 3$. То есть, график $y=1/x^3$ находится выше.
- При $x=1$, $y = 1/1^3 = 1$, а $y = 1^3 + 3 = 4$. График $y=x^3+3$ находится выше.
- Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает на интервале $(0, +\infty)$, и их взаимное расположение меняется, они могут пересечься только один раз. Следовательно, при $x > 0$ есть одно решение.
- При $x < 0$:
- График $y = 1/x^3$ возрастает от $-\infty$ до $0$. Он полностью находится в III четверти ($y < 0$).
- График $y = x^3 + 3$ возрастает от $-\infty$ до $3$ (при $x \to 0^-$). Он пересекает ось Ox в точке $x = -\sqrt[3]{3}$. Таким образом, он находится в III четверти при $x < -\sqrt[3]{3}$ и во II четверти при $-\sqrt[3]{3} < x < 0$.
- Пересечение возможно только там, где оба графика находятся в III четверти, то есть при $x < -\sqrt[3]{3}$.
- При $x \to -\infty$, $1/x^3 \to 0$, а $x^3 + 3 \to -\infty$. График $y=1/x^3$ находится выше.
- В точке $x = -\sqrt[3]{3}$, $y = 1/(-\sqrt[3]{3})^3 = -1/3$, а $y = (-\sqrt[3]{3})^3 + 3 = 0$. График $y=x^3+3$ находится выше.
- Так как на интервале $(-\infty, -\sqrt[3]{3})$ произошло изменение взаимного расположения графиков, и обе функции на этом интервале возрастают (хотя и с разной скоростью), они пересекаются. Поскольку разность $y=(x^3+3) - (1/x^3)$ является строго возрастающей функцией при $x<0$, пересечение может быть только одно.
Всего получается две точки пересечения: одна при $x > 0$ и одна при $x < 0$.

Ответ: 2 решения.

10.9. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = x^2 - 2. \end{cases} $

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Определим это количество, построив эскизы графиков для каждой системы.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^{-3} \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4 \end{cases} $$

Нужно найти количество точек пересечения графиков функций $y = x^{-3}$ и $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$.

1. График функции $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами.

2. График функции $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.

Проанализируем пересечение графиков:

• При $x > 0$ (в I четверти): ветвь гиперболы $y = x^{-3}$ убывает от $+\infty$ до $0$. Парабола $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ возрастает от значения $y > -4$. Поскольку убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза, а также учитывая, что при $x \to 0^+$ гипербола находится "выше" параболы, а при $x \to +\infty$ парабола уходит в $+\infty$, а гипербола стремится к 0, графики обязательно пересекутся. Таким образом, при $x > 0$ есть одна точка пересечения.
• При $x < 0$ (в III четверти): ветвь гиперболы $y = x^{-3}$ убывает от $0$ до $-\infty$. Парабола $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ сначала убывает до своей вершины $(0,-4)$, а затем возрастает. При $x \to 0^-$ парабола стремится к $-4$, а гипербола к $-\infty$, значит, вблизи оси $y$ парабола находится выше гиперболы. При $x \to -\infty$ парабола уходит в $+\infty$, а гипербола стремится к $0$, что означает, что для достаточно больших по модулю отрицательных $x$ парабола также находится выше гиперболы (в II четверти, где $y>0$, в то время как гипербола в III, где $y<0$). Однако, можно показать, что между этими областями парабола "ныряет" под гиперболу. Например, в точке $x = -2$, $y_{параболы} = \frac{1}{8}(-2)^2 - 4 = -3.5$, а $y_{гиперболы} = (-2)^{-3} = -0.125$. Здесь гипербола выше. Так как парабола непрерывна и оказывается то выше, то ниже гиперболы, она пересекает ее дважды. Таким образом, при $x < 0$ есть две точки пересечения.

Суммарное количество точек пересечения: $1 + 2 = 3$.

Ответ: 3

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^{-2} \\ y = x^2 - 2 \end{cases} $$

Нужно найти количество точек пересечения графиков функций $y = x^{-2}$ и $y = x^2 - 2$.

1. График функции $y = x^{-2}$ или $y = \frac{1}{x^2}$ расположен в I и II координатных четвертях, так как $y$ всегда положителен. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Оси координат являются асимптотами.

2. График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Эта функция также четная и ее график симметричен относительно оси ординат.

Поскольку обе функции четные, их графики симметричны относительно оси $y$. Это означает, что если есть точка пересечения с абсциссой $x_0$, то обязательно будет и точка пересечения с абсциссой $-x_0$. Поэтому достаточно рассмотреть случай $x > 0$ (I четверть).

• При $x > 0$: график $y = \frac{1}{x^2}$ является убывающей функцией. График $y = x^2 - 2$ является возрастающей функцией. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. При $x \to 0^+$, $y = \frac{1}{x^2} \to +\infty$, а $y = x^2 - 2 \to -2$. При $x \to +\infty$, $y = \frac{1}{x^2} \to 0$, а $y = x^2 - 2 \to +\infty$. Так как один график начинается "выше", а заканчивает "ниже" другого, они обязательно пересекутся ровно один раз.

Итак, при $x > 0$ есть одна точка пересечения. В силу симметрии, при $x < 0$ также будет одна точка пересечения. Всего получаем $1 + 1 = 2$ точки пересечения.

Ответ: 2

10.10. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x)=x^{-n}$, если:

1) $f(-2) < f(1)$;

2) $f(-2) < f(-1)$;

3) $f(2) < f(1)$?

Дана функция $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Проанализируем каждое условие.

1) $f(-2) < f(1)$

Найдём значения функции в точках -2 и 1: $f(-2) = (-2)^{-n} = \frac{1}{(-2)^n}$ $f(1) = 1^{-n} = \frac{1}{1^n} = 1$

Подставим эти значения в неравенство: $\frac{1}{(-2)^n} < 1$

Рассмотрим два случая в зависимости от чётности $n$:

- Если $n$ — чётное число, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{2^n} < 1$. Так как $n$ — натуральное чётное число, то $n \ge 2$, следовательно, $2^n \ge 4$. Таким образом, $0 < \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{4}$, и неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ всегда верно.

- Если $n$ — нечётное число, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{-2^n} < 1$, или $-\frac{1}{2^n} < 1$. Так как $n$ — натуральное число, $2^n > 0$, значит $-\frac{1}{2^n}$ — отрицательное число. Любое отрицательное число меньше 1, поэтому неравенство всегда верно.

Поскольку неравенство выполняется для любого натурального $n$ (как чётного, так и нечётного), на основании этого условия определить чётность $n$ невозможно.

Ответ: на основании данного условия определить чётность числа $n$ невозможно.

2) $f(-2) < f(-1)$

Найдём значения функции в точках -2 и -1: $f(-2) = (-2)^{-n} = \frac{1}{(-2)^n}$ $f(-1) = (-1)^{-n} = \frac{1}{(-1)^n}$

Подставим эти значения в неравенство: $\frac{1}{(-2)^n} < \frac{1}{(-1)^n}$

Рассмотрим два случая:

- Если $n$ — чётное число, то $(-2)^n = 2^n$ и $(-1)^n = 1$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{2^n} < 1$. Так как $n$ — натуральное чётное число ($n \ge 2$), это неравенство всегда верно.

- Если $n$ — нечётное число, то $(-2)^n = -2^n$ и $(-1)^n = -1$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{-2^n} < \frac{1}{-1}$, или $-\frac{1}{2^n} < -1$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{1}{2^n} > 1$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $2^n \ge 2$, и, следовательно, $0 < \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2}$. Неравенство $\frac{1}{2^n} > 1$ никогда не выполняется.

Таким образом, условие $f(-2) < f(-1)$ выполняется тогда и только тогда, когда $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

3) $f(2) < f(1)$

Найдём значения функции в точках 2 и 1: $f(2) = 2^{-n} = \frac{1}{2^n}$ $f(1) = 1^{-n} = 1$

Подставим эти значения в неравенство: $\frac{1}{2^n} < 1$

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $2^n \ge 2$. Отсюда следует, что $0 < \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2}$. Неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ выполняется для любого натурального числа $n$, независимо от его чётности.

Следовательно, на основании этого условия определить чётность $n$ невозможно.

Ответ: на основании данного условия определить чётность числа $n$ невозможно.