Страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[-2; -1];$

3) $[-1; 1];$

4) $(-\infty; -2];$

5) $(-2; 1).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^8$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение. Это степенная функция с четным показателем, её график симметричен относительно оси ординат. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \infty)$. Глобальный минимум достигается в точке $x=0$, $f(0) = 0$.

Функция $f(x) = x^8$ является возрастающей на промежутке $[0, \infty)$, а значит и на отрезке $[0; 2]$. Поэтому наименьшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение: $f(2) = 2^8 = 256$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 256.

Функция $f(x) = x^8$ является убывающей на промежутке $(-\infty, 0]$, а значит и на отрезке $[-2; -1]$. Поэтому наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, а наибольшее — в левом.
Наименьшее значение: $f(-1) = (-1)^8 = 1$.
Наибольшее значение: $f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 256.

Отрезок $[-1; 1]$ содержит точку $x=0$, в которой функция $f(x)=x^8$ достигает своего глобального минимума. Для нахождения наибольшего значения на отрезке необходимо сравнить значения функции на его концах.
Наименьшее значение: $f(0) = 0^8 = 0$.
Значения на концах отрезка: $f(-1) = (-1)^8 = 1$ и $f(1) = 1^8 = 1$.
Следовательно, наибольшее значение на отрезке равно 1.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

На промежутке $(-\infty; -2]$ функция $f(x) = x^8$ является убывающей. Поэтому наименьшее значение она принимает в крайней правой точке промежутка, то есть в $x=-2$.
Наименьшее значение: $f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Поскольку при $x \to -\infty$, значения функции $f(x) = x^8$ неограниченно возрастают ($f(x) \to +\infty$), наибольшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: наименьшее значение 256, наибольшего значения не существует.

Промежуток $(-2; 1)$ является открытым и содержит точку $x=0$, в которой функция $f(x)=x^8$ достигает своего глобального минимума. Так как точка $x=0$ принадлежит данному промежутку, наименьшее значение функции на нем равно $f(0)$.
Наименьшее значение: $f(0) = 0^8 = 0$.
Для поиска наибольшего значения рассмотрим поведение функции на границах интервала. Так как интервал открытый, значения в точках $x=-2$ и $x=1$ не достигаются.
При $x \to -2$ (справа), $f(x) \to (-2)^8 = 256$.
При $x \to 1$ (слева), $f(x) \to 1^8 = 1$.
Точная верхняя грань (супремум) значений функции на данном промежутке равна 256, но это значение не достигается, так как $x=-2$ не принадлежит промежутку. Следовательно, наибольшего значения у функции на промежутке $(-2; 1)$ не существует.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

9.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^6$ на промежутке:

1) $[-13; -1];$

2) $[-2; 1];$

3) $[1; +\infty);$

4) $(1; +\infty).$

Для решения задачи проанализируем поведение функции $f(x) = x^6$. Это степенная функция с четным показателем $n=6$.

• Функция является четной, то есть $f(-x) = f(x)$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• В точке $x=0$ функция имеет глобальный минимум, равный $f(0) = 0$.

1) $[-13; -1]$

Данный промежуток $[-13; -1]$ целиком лежит в области убывания функции $(-\infty, 0]$. На отрезке убывающая функция достигает своего наибольшего значения на левом конце, а наименьшего — на правом.

Наибольшее значение: $f(-13) = (-13)^6 = 13^6 = 4 \ 826 \ 809$.
Наименьшее значение: $f(-1) = (-1)^6 = 1$.

Ответ: наибольшее значение равно $4 \ 826 \ 809$, наименьшее значение равно $1$.

2) $[-2; 1]$

Данный промежуток $[-2; 1]$ содержит точку минимума функции $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в этой точке.

Наименьшее значение: $f(0) = 0^6 = 0$.
Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах промежутка, так как максимум на отрезке, содержащем точку минимума, достигается на одном из его концов.
$f(-2) = (-2)^6 = 64$.
$f(1) = 1^6 = 1$.
Сравнивая $64$ и $1$, заключаем, что наибольшее значение равно $64$.

Ответ: наибольшее значение равно $64$, наименьшее значение равно $0$.

3) $[1; +\infty)$

Данный промежуток $[1; +\infty)$ целиком лежит в области возрастания функции $[0, +\infty)$. На таком промежутке возрастающая функция достигает своего наименьшего значения на левом конце.

Наименьшее значение: $f(1) = 1^6 = 1$.
Поскольку промежуток неограничен справа и функция на нем возрастает, ее значения неограниченно растут при $x \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения на этом промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $1$, наибольшего значения не существует.

4) $(1; +\infty)$

Данный промежуток $(1; +\infty)$ является открытым и целиком лежит в области возрастания функции. Поскольку функция строго возрастает, ее значения на этом промежутке будут всегда больше, чем значение в точке $x=1$, то есть $f(x) > f(1) = 1$. Так как можно взять значения $x$ сколь угодно близко к $1$ (например, $1.001$, $1.0001$ и т.д.), значения функции будут сколь угодно близки к $1$, но никогда не достигнут этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном промежутке не существует (существует только инфимум, равный 1). Аналогично предыдущему пункту, так как промежуток неограничен справа, наибольшего значения также не существует.

Ответ: ни наибольшего, ни наименьшего значения не существует.

9.9. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $f(x)=x^n$, если:

1) $f(-4) < f(2)$;

2) $f(-4) > f(2)$;

3) $f(4) > f(-2)$?

Функция задана формулой $f(x) = x^n$, где $n$ — натуральное число. Проанализируем каждый случай, чтобы определить чётность $n$.

1) $f(-4) < f(2)$

Подставим значения аргументов в функцию: $f(-4) = (-4)^n$ и $f(2) = 2^n$.
Заданное условие представляет собой неравенство: $(-4)^n < 2^n$.
Рассмотрим два возможных случая для $n$.
- Если $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, ...$), то любое отрицательное число в степени $n$ становится положительным. Таким образом, $(-4)^n = 4^n$. Неравенство принимает вид $4^n < 2^n$, или $(2^2)^n < 2^n$, что равносильно $2^{2n} < 2^n$. Так как основание степени $2 > 1$, для выполнения неравенства должно выполняться условие $2n < n$, что упрощается до $n < 0$. Это противоречит условию, что $n$ — натуральное число. Следовательно, $n$ не может быть чётным.
- Если $n$ — нечётное натуральное число (например, $n=1, 3, 5, ...$), то $(-4)^n = -4^n$. Неравенство принимает вид $-4^n < 2^n$. Поскольку $n$ — натуральное число, $4^n$ и $2^n$ являются положительными числами. Это означает, что мы сравниваем отрицательное число ($-4^n$) с положительным ($2^n$). Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного, поэтому это неравенство верно для всех нечётных натуральных $n$.
Следовательно, из условия $f(-4) < f(2)$ следует, что $n$ — нечётное число.
Ответ: нечётным.

2) $f(-4) > f(2)$

Аналогично предыдущему пункту, подставляем значения и получаем неравенство: $(-4)^n > 2^n$.
Рассмотрим два возможных случая для $n$.
- Если $n$ — чётное натуральное число, то $(-4)^n = 4^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$, или $2^{2n} > 2^n$. Так как основание $2 > 1$, неравенство справедливо при $2n > n$, что упрощается до $n > 0$. Это верно для любого натурального числа. Таким образом, если $n$ — чётное, условие выполняется.
- Если $n$ — нечётное натуральное число, то $(-4)^n = -4^n$. Неравенство принимает вид $-4^n > 2^n$. Это означает, что отрицательное число должно быть больше положительного, что невозможно. Следовательно, $n$ не может быть нечётным.
Следовательно, из условия $f(-4) > f(2)$ следует, что $n$ — чётное число.
Ответ: чётным.

3) $f(4) > f(-2)$

Подставим значения аргументов в функцию: $f(4) = 4^n$ и $f(-2) = (-2)^n$.
Получаем неравенство: $4^n > (-2)^n$.
Рассмотрим два возможных случая для $n$.
- Если $n$ — чётное натуральное число, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$. Как мы выяснили в пункте 2, это неравенство верно для всех натуральных $n > 0$, а значит, и для всех чётных натуральных $n$.
- Если $n$ — нечётное натуральное число, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > -2^n$. В левой части стоит положительное число, а в правой — отрицательное. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому неравенство верно для всех нечётных натуральных $n$.
Таким образом, неравенство $f(4) > f(-2)$ выполняется для любого натурального $n$, как чётного, так и нечётного. По этому условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: определить чётность невозможно.

9.10. Решите уравнение:

1) $x^{11} + x^3 = 2$;

2) $2x^4 + x^{10} = 3$.

1) $x^{11} + x^3 = 2$

Перепишем уравнение в виде $x^{11} + x^3 - 2 = 0$.

Легко заметить, что $x=1$ является корнем уравнения, так как при подстановке этого значения в уравнение мы получаем верное равенство:

$1^{11} + 1^3 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.

Чтобы доказать, что этот корень является единственным, рассмотрим функцию $f(x) = x^{11} + x^3 - 2$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^{11} + x^3 - 2)' = 11x^{10} + 3x^2$.

Проанализируем знак производной. Так как $x^{10} \geq 0$ и $x^2 \geq 0$ для любых действительных значений $x$, то $11x^{10} \geq 0$ и $3x^2 \geq 0$.

Следовательно, $f'(x) = 11x^{10} + 3x^2 \geq 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная равна нулю только в одной точке: $x=0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли один корень $x=1$, других действительных корней у уравнения нет.

Ответ: $1$.

2) $2x^4 + x^{10} = 3$

Перепишем уравнение в виде $x^{10} + 2x^4 - 3 = 0$.

Методом подбора можно найти два корня.

При $x=1$: $1^{10} + 2 \cdot 1^4 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.

При $x=-1$: $(-1)^{10} + 2 \cdot (-1)^4 - 3 = 1 + 2 \cdot 1 - 3 = 0$. Значит, $x=-1$ также является корнем.

Для того чтобы выяснить, есть ли у уравнения другие корни, рассмотрим функцию $g(x) = x^{10} + 2x^4 - 3$.

Найдем ее производную:

$g'(x) = (x^{10} + 2x^4 - 3)' = 10x^9 + 8x^3 = 2x^3(5x^6 + 4)$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю: $2x^3(5x^6 + 4) = 0$.

Выражение $5x^6 + 4$ всегда положительно, так как $x^6 \geq 0$. Следовательно, производная обращается в ноль только при $x^3=0$, то есть при $x=0$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 0$, $x^3 < 0$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция $g(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$.
• При $x > 0$, $x^3 > 0$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция $g(x)$ возрастает на промежутке $(0, \infty)$.

Таким образом, в точке $x=0$ функция $g(x)$ имеет точку минимума. Значение функции в этой точке: $g(0) = 0^{10} + 2 \cdot 0^4 - 3 = -3$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $g(x)$ строго убывает от $+\infty$ до $-3$. Значит, она может принять значение $0$ только один раз. Мы нашли этот корень: $x=-1$.

На промежутке $(0, \infty)$ функция $g(x)$ строго возрастает от $-3$ до $+\infty$. Значит, она может принять значение $0$ только один раз. Мы нашли этот корень: $x=1$.

Следовательно, других действительных корней, кроме $x=1$ и $x=-1$, у уравнения нет.

Ответ: $-1; 1$.

9.11. Решите уравнение:

1) $4x^3 + x^7 = -5;$

2) $x^6 + 3x^8 = 4.$

1) Решим уравнение $4x^3 + x^7 = -5$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение в виде $x^7 + 4x^3 + 5 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^7 + 4x^3 + 5$. Для решения уравнения нам необходимо найти ее нули.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^7 + 4x^3 + 5)' = 7x^6 + 12x^2$.
Вынесем общий множитель за скобки: $f'(x) = x^2(7x^4 + 12)$.
Проанализируем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любых действительных чисел $x$, выражение $7x^4 + 12$ всегда будет положительным. Следовательно, $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, причем $f'(x) = 0$ только при $x=0$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более чем в одной точке, поэтому уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного действительного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя простые целые числа.
При $x = -1$:
$f(-1) = (-1)^7 + 4(-1)^3 + 5 = -1 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$.
Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, он и является решением.
Ответ: $-1$.

2) Решим уравнение $x^6 + 3x^8 = 4$.
Перепишем уравнение в стандартном виде: $3x^8 + x^6 - 4 = 0$.
Это уравнение является полиномиальным относительно $x^2$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.
Подставив $y$ в уравнение, получим:
$3(x^2)^4 + (x^2)^3 - 4 = 0 \implies 3y^4 + y^3 - 4 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(y) = 3y^4 + y^3 - 4$ при $y \ge 0$.
Найдем ее производную: $g'(y) = (3y^4 + y^3 - 4)' = 12y^3 + 3y^2 = 3y^2(4y+1)$.
При $y > 0$ производная $g'(y)$ всегда положительна, что означает, что функция $g(y)$ строго возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
Следовательно, уравнение $g(y) = 0$ может иметь не более одного неотрицательного корня.
Найдем корень подбором. Проверим $y = 1$:
$g(1) = 3(1)^4 + (1)^3 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$.
Значит, $y = 1$ является единственным неотрицательным корнем уравнения для $y$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
$x^2 = y = 1$.
Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.

9.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке $[-1; a]$, где $a > -1$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^8$ на промежутке $[-1, a]$, где $a > -1$, найдём её производную и критические точки.

Производная функции: $f'(x) = (x^8)' = 8x^7$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $8x^7 = 0$, откуда $x = 0$. Это единственная критическая точка функции.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому промежутку, либо на его концах. Вычислим значения функции в точках $x=-1$, $x=a$ и в критической точке $x=0$.

$f(-1) = (-1)^8 = 1$

$f(0) = 0^8 = 0$

$f(a) = a^8$

Решение зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим два случая в зависимости от того, входит ли критическая точка $x=0$ в рассматриваемый промежуток $[-1, a]$.

1. Если $-1 < a < 0$.
В этом случае критическая точка $x=0$ не принадлежит промежутку $[-1, a]$. Следовательно, для нахождения экстремумов нужно сравнить значения функции только на концах промежутка: $f(-1)=1$ и $f(a)=a^8$. На промежутке $[-1, 0)$ функция $f(x)=x^8$ является убывающей. Таким образом, наименьшее значение на отрезке $[-1, a]$ равно $f(a)=a^8$, а наибольшее — $f(-1)=1$.

2. Если $a \ge 0$.
В этом случае критическая точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-1, a]$. Необходимо сравнить три значения: $f(-1)=1$, $f(0)=0$ и $f(a)=a^8$.
Наименьшее значение равно $f(0)=0$, поскольку $f(x) = x^8 \ge 0$ для всех действительных $x$, и точка $x=0$ принадлежит промежутку.
Наибольшее значение равно $\max(f(-1), f(a)) = \max(1, a^8)$. Его значение зависит от $a$:
- Если $0 \le a \le 1$, то $a^8 \le 1$, и наибольшее значение равно $1$.
- Если $a > 1$, то $a^8 > 1$, и наибольшее значение равно $a^8$.

Ответ:
Наименьшее значение функции:
если $-1 < a < 0$, то наименьшее значение равно $a^8$;
если $a \ge 0$, то наименьшее значение равно $0$.
Наибольшее значение функции:
если $-1 < a \le 1$, то наибольшее значение равно $1$;
если $a > 1$, то наибольшее значение равно $a^8$.

9.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^6$ на промежутке $[a; 2]$, где $a < 2$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^6$ на замкнутом промежутке $[a, 2]$, где $a < 2$, необходимо исследовать её поведение.

Сначала найдём производную функции: $f'(x) = (x^6)' = 6x^5$.

Затем найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $6x^5 = 0$, откуда получаем единственную критическую точку $x = 0$.

Проанализируем знак производной: при $x < 0$ производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно, функция $f(x)$ убывает; при $x > 0$ производная $f'(x)$ положительна, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. Таким образом, $x=0$ является точкой глобального минимума функции $f(x)$.

Теперь рассмотрим расположение промежутка $[a, 2]$ относительно точки $x=0$. Поскольку по условию $a < 2$, возможны следующие случаи.

Случай 1: $0 < a < 2$

В этом случае весь промежуток $[a, 2]$ находится на области возрастания функции. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f(a) = a^6$.
Наибольшее значение: $f(2) = 2^6 = 64$.

Случай 2: $a \le 0$

В этом случае точка минимума $x=0$ принадлежит промежутку $[a, 2]$.

Наименьшее значение на промежутке будет равно значению функции в точке минимума:
Наименьшее значение: $f(0) = 0^6 = 0$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка $[a, 2]$, то есть будет равно $\max(f(a), f(2))$. Сравним $f(a) = a^6$ и $f(2) = 64$. Так как функция $f(x)=x^6$ является чётной, её значение зависит от модуля аргумента. Наибольшее значение будет в той точке ($a$ или $2$), которая дальше от нуля.
- Если $a < -2$, то $|a| > 2$, и, следовательно, $a^6 = |a|^6 > 2^6 = 64$. Наибольшее значение равно $a^6$.
- Если $-2 \le a \le 0$, то $|a| \le 2$, и, следовательно, $a^6 = |a|^6 \le 2^6 = 64$. Наибольшее значение равно $64$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ:
Наименьшее значение функции:
- равно $a^6$, если $0 < a < 2$;
- равно $0$, если $a \le 0$.
Наибольшее значение функции:
- равно $a^6$, если $a < -2$;
- равно $64$, если $-2 \le a < 2$.

9.14. Решите уравнение $5x^{17} - 3x^8 = 2.$

Данное уравнение $5x^{17} - 3x^8 = 2$ является алгебраическим уравнением высокой степени. Решим его, сначала найдя очевидные корни, а затем доказав их единственность.

Методом подбора легко проверить, что $x=1$ является корнем уравнения. Подставим $x=1$ в исходное выражение: $5 \cdot 1^{17} - 3 \cdot 1^8 = 5 - 3 = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит $x=1$ — корень.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, рассмотрим функцию $f(x) = 5x^{17} - 3x^8 - 2$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x)=0$. Для этого исследуем функцию с помощью её производной.

Найдём производную: $f'(x) = (5x^{17} - 3x^8 - 2)' = 85x^{16} - 24x^7$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(x) = 0$, то есть $85x^{16} - 24x^7 = 0$. Вынесем $x^7$ за скобки: $x^7(85x^9 - 24) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$.

Проанализируем знак производной на интервалах. При $x < 0$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. При $0 < x < \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$ производная $f'(x) < 0$, и функция убывает. При $x > \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$ производная $f'(x) > 0$, и функция снова возрастает.

Рассмотрим поведение функции. В точке $x=0$ находится локальный максимум, $f(0) = -2$. На всём промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает от $-\infty$ до $-2$, поэтому $f(x) \le -2$ и корней здесь нет. Далее, на промежутке $[0, \sqrt[9]{\frac{24}{85}}]$ функция убывает от $f(0)=-2$, поэтому $f(x) < -2$ и корней здесь также нет. Наконец, на промежутке $[\sqrt[9]{\frac{24}{85}}, +\infty)$ функция монотонно возрастает от своего локального минимума (значение которого меньше -2) до $+\infty$. Это означает, что на этом промежутке функция пересекает ось абсцисс ровно один раз.

Поскольку мы уже знаем, что $x=1$ является корнем, и $1 > \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$, то именно этот корень и является единственным решением на последнем промежутке, а значит, и для всего уравнения.

Ответ: $1$.

9.15. Решите уравнение $11x^{15} + 2x^4 = -9.$

Заданное уравнение: $11x^{15} + 2x^4 = -9$.

Для решения рассмотрим свойства функции, стоящей в левой части уравнения. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$11x^{15} + 2x^4 + 9 = 0$

Обозначим левую часть как функцию $f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9$. Нам необходимо найти нули этой функции.

Сначала проанализируем, какие значения может принимать $x$.

1. Если $x \ge 0$, то $x^{15} \ge 0$ и $x^4 \ge 0$. Это означает, что оба слагаемых $11x^{15}$ и $2x^4$ неотрицательны. Тогда их сумма также неотрицательна: $11x^{15} + 2x^4 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 9, результат будет не меньше 9:

$f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9 \ge 0 + 9 = 9$

Поскольку $f(x)$ всегда больше или равно 9 при $x \ge 0$, уравнение $f(x)=0$ не имеет решений в этой области. Следовательно, если у уравнения есть корень, он должен быть отрицательным ($x < 0$).

2. Теперь рассмотрим случай $x < 0$. Попробуем найти корень методом подбора, проверив простые отрицательные целые числа. Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

$11(-1)^{15} + 2(-1)^4 = 11 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = -11 + 2 = -9$

Мы получили верное равенство $-9 = -9$, что означает, что $x = -1$ является корнем уравнения.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, исследуем поведение функции $f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9$ при $x < 0$ с помощью ее производной:

$f'(x) = (11x^{15} + 2x^4 + 9)' = 165x^{14} + 8x^3$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$165x^{14} + 8x^3 = 0$

$x^3(165x^{11} + 8) = 0$

Поскольку мы рассматриваем $x < 0$, нас интересует только корень уравнения $165x^{11} + 8 = 0$.

$x^{11} = -\frac{8}{165} \implies x = -\sqrt[11]{\frac{8}{165}}$

Обозначим эту критическую точку $x_c = -\sqrt[11]{8/165}$. Так как $0 < 8/165 < 1$, то и $0 < \sqrt[11]{8/165} < 1$, а значит $-1 < x_c < 0$.

Эта точка делит область $x<0$ на два интервала монотонности:

• При $x < x_c$ (например, $x = -2$), $x^{11} < x_c^{11} = -8/165$, поэтому $165x^{11} + 8 < 0$. Также $x^3 < 0$. Производная $f'(x) = x^3(165x^{11} + 8)$ является произведением двух отрицательных чисел, то есть $f'(x) > 0$. На интервале $(-\infty, x_c)$ функция $f(x)$ строго возрастает.
• При $x_c < x < 0$ (например, $x = -0.5$), $x^{11} > x_c^{11} = -8/165$, поэтому $165x^{11} + 8 > 0$. При этом $x^3 < 0$. Производная $f'(x)$ является произведением положительного и отрицательного чисел, то есть $f'(x) < 0$. На интервале $(x_c, 0)$ функция $f(x)$ строго убывает.

Мы нашли, что корень $x = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, x_c)$, поскольку $-1 < x_c$. На этом интервале функция строго возрастает, а значит, она может пересечь ось абсцисс (т.е. принять значение 0) только один раз. Следовательно, $x=-1$ — единственный корень на этом интервале.

На интервале $[x_c, 0)$ функция $f(x)$ убывает от своего локального максимума в точке $x_c$ до значения $f(0) = 9$. Это значит, что для всех $x$ из этого интервала $f(x) \ge 9$, поэтому корней здесь нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $-1$