Номер 9.9, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.9. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $f(x)=x^n$, если:

1) $f(-4) < f(2)$;

2) $f(-4) > f(2)$;

3) $f(4) > f(-2)$?

Функция задана формулой $f(x) = x^n$, где $n$ — натуральное число. Проанализируем каждый случай, чтобы определить чётность $n$.

1) $f(-4) < f(2)$

Подставим значения аргументов в функцию: $f(-4) = (-4)^n$ и $f(2) = 2^n$.
Заданное условие представляет собой неравенство: $(-4)^n < 2^n$.
Рассмотрим два возможных случая для $n$.
- Если $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, ...$), то любое отрицательное число в степени $n$ становится положительным. Таким образом, $(-4)^n = 4^n$. Неравенство принимает вид $4^n < 2^n$, или $(2^2)^n < 2^n$, что равносильно $2^{2n} < 2^n$. Так как основание степени $2 > 1$, для выполнения неравенства должно выполняться условие $2n < n$, что упрощается до $n < 0$. Это противоречит условию, что $n$ — натуральное число. Следовательно, $n$ не может быть чётным.
- Если $n$ — нечётное натуральное число (например, $n=1, 3, 5, ...$), то $(-4)^n = -4^n$. Неравенство принимает вид $-4^n < 2^n$. Поскольку $n$ — натуральное число, $4^n$ и $2^n$ являются положительными числами. Это означает, что мы сравниваем отрицательное число ($-4^n$) с положительным ($2^n$). Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного, поэтому это неравенство верно для всех нечётных натуральных $n$.
Следовательно, из условия $f(-4) < f(2)$ следует, что $n$ — нечётное число.
Ответ: нечётным.

2) $f(-4) > f(2)$

Аналогично предыдущему пункту, подставляем значения и получаем неравенство: $(-4)^n > 2^n$.
Рассмотрим два возможных случая для $n$.
- Если $n$ — чётное натуральное число, то $(-4)^n = 4^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$, или $2^{2n} > 2^n$. Так как основание $2 > 1$, неравенство справедливо при $2n > n$, что упрощается до $n > 0$. Это верно для любого натурального числа. Таким образом, если $n$ — чётное, условие выполняется.
- Если $n$ — нечётное натуральное число, то $(-4)^n = -4^n$. Неравенство принимает вид $-4^n > 2^n$. Это означает, что отрицательное число должно быть больше положительного, что невозможно. Следовательно, $n$ не может быть нечётным.
Следовательно, из условия $f(-4) > f(2)$ следует, что $n$ — чётное число.
Ответ: чётным.

3) $f(4) > f(-2)$

Подставим значения аргументов в функцию: $f(4) = 4^n$ и $f(-2) = (-2)^n$.
Получаем неравенство: $4^n > (-2)^n$.
Рассмотрим два возможных случая для $n$.
- Если $n$ — чётное натуральное число, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$. Как мы выяснили в пункте 2, это неравенство верно для всех натуральных $n > 0$, а значит, и для всех чётных натуральных $n$.
- Если $n$ — нечётное натуральное число, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > -2^n$. В левой части стоит положительное число, а в правой — отрицательное. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому неравенство верно для всех нечётных натуральных $n$.
Таким образом, неравенство $f(4) > f(-2)$ выполняется для любого натурального $n$, как чётного, так и нечётного. По этому условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: определить чётность невозможно.