Номер 9.11, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.11. Решите уравнение:

1) $4x^3 + x^7 = -5;$

2) $x^6 + 3x^8 = 4.$

1) Решим уравнение $4x^3 + x^7 = -5$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение в виде $x^7 + 4x^3 + 5 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^7 + 4x^3 + 5$. Для решения уравнения нам необходимо найти ее нули.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^7 + 4x^3 + 5)' = 7x^6 + 12x^2$.
Вынесем общий множитель за скобки: $f'(x) = x^2(7x^4 + 12)$.
Проанализируем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любых действительных чисел $x$, выражение $7x^4 + 12$ всегда будет положительным. Следовательно, $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, причем $f'(x) = 0$ только при $x=0$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более чем в одной точке, поэтому уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного действительного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя простые целые числа.
При $x = -1$:
$f(-1) = (-1)^7 + 4(-1)^3 + 5 = -1 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$.
Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, он и является решением.
Ответ: $-1$.

2) Решим уравнение $x^6 + 3x^8 = 4$.
Перепишем уравнение в стандартном виде: $3x^8 + x^6 - 4 = 0$.
Это уравнение является полиномиальным относительно $x^2$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.
Подставив $y$ в уравнение, получим:
$3(x^2)^4 + (x^2)^3 - 4 = 0 \implies 3y^4 + y^3 - 4 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(y) = 3y^4 + y^3 - 4$ при $y \ge 0$.
Найдем ее производную: $g'(y) = (3y^4 + y^3 - 4)' = 12y^3 + 3y^2 = 3y^2(4y+1)$.
При $y > 0$ производная $g'(y)$ всегда положительна, что означает, что функция $g(y)$ строго возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
Следовательно, уравнение $g(y) = 0$ может иметь не более одного неотрицательного корня.
Найдем корень подбором. Проверим $y = 1$:
$g(1) = 3(1)^4 + (1)^3 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$.
Значит, $y = 1$ является единственным неотрицательным корнем уравнения для $y$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
$x^2 = y = 1$.
Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.