Вопросы?, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют степенной функцией с целым показателем?

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где $n$ — чётное натуральное число.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где $n$ — нечётное натуральное число.

1. Какую функцию называют степенной функцией с целым показателем?

Степенной функцией с целым показателем называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = x^p$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $p$ — заданное целое число (показатель). Целые числа включают натуральные числа, им противоположные и ноль ($p \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Степенная функция с целым показателем — это функция вида $y = x^p$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$).

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где n – чётное натуральное число.

Рассмотрим функцию $y = x^{-n}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$). Основные свойства этой функции:

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^n \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Поскольку $n$ — чётное натуральное число, $x^n$ всегда будет положительным числом для любого $x \neq 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^n}$ также всегда будет положительным. Область значений функции — все положительные действительные числа: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Чётность: Функция является чётной. Проверим: $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n}$. Так как $n$ — чётное, $(-x)^n = x^n$. Поэтому $f(-x) = \frac{1}{x^n} = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: Функция не имеет нулей, так как дробь $\frac{1}{x^n}$ не может быть равна нулю.
• Промежутки монотонности:
  • На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает.
  • На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает.
• Экстремумы: Функция не имеет точек максимума и минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось OY).
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось OX).

Ответ: Основные свойства функции $y = x^{-n}$ для чётного натурального $n$: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$, функция чётная, нулей не имеет, возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$, не имеет экстремумов, асимптоты — $x=0$ и $y=0$.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где n – нечётное натуральное число.

Рассмотрим функцию $y = x^{-n}$, или $y = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — нечётное натуральное число (например, $n=1, 3, 5, \dots$). Основные свойства этой функции:

• Область определения: Аналогично предыдущему случаю, $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Если $x > 0$, то $x^n > 0$, и $y > 0$. Если $x < 0$, то, поскольку $n$ нечётное, $x^n < 0$, и $y < 0$. Область значений — все действительные числа, кроме нуля: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Чётность: Функция является нечётной. Проверим: $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n}$. Так как $n$ — нечётное, $(-x)^n = -x^n$. Поэтому $f(-x) = \frac{1}{-x^n} = - \frac{1}{x^n} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: Функция не имеет нулей.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на всей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: Функция не имеет точек максимума и минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось OY).
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось OX).

Ответ: Основные свойства функции $y = x^{-n}$ для нечётного натурального $n$: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция нечётная, нулей не имеет, убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, не имеет экстремумов, асимптоты — $x=0$ и $y=0$.