Номер 10.7, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-3}$ на промежутке:

1) $[ \frac{1}{3}; 2 ]$;

2) $[ -2; -1 ]$;

3) $( -\infty; -3 ]$;

4) $( 0; 2 ]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^{-3}$ на различных промежутках, сначала исследуем ее свойства.

Функция $f(x) = x^{-3}$ может быть записана как $f(x) = \frac{1}{x^3}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы монотонности:

$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Поскольку $x^4 > 0$ для любого $x$ из области определения, производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$). Это означает, что функция $f(x) = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Данный промежуток является замкнутым отрезком и полностью лежит в интервале $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Для строго убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой конечной точке ($x=a$), а наименьшее — в правой ($x=b$).

Наибольшее значение:$f_{наиб.} = f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: наибольшее значение равно 27, наименьшее значение равно $\frac{1}{8}$.

Данный промежуток является замкнутым отрезком и полностью лежит в интервале $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает. Как и в предыдущем случае, наибольшее значение будет в левой конечной точке, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение:$f_{наиб.} = f(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(-1) = (-1)^{-3} = \frac{1}{(-1)^3} = -1$.

Ответ: наибольшее значение равно $-\frac{1}{8}$, наименьшее значение равно $-1$.

На этом промежутке функция также строго убывает. Так как для любого $x$ из промежутка $(-\infty; -3]$ выполняется $x \le -3$, то в силу убывания функции имеем $f(x) \ge f(-3)$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = -3$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(-3) = (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}$.

Чтобы найти наибольшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$:$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^3} = 0$. Значения функции стремятся к 0 (оставаясь отрицательными), но никогда его не достигают. Множество значений функции на данном промежутке есть $[-\frac{1}{27}; 0)$. Таким образом, наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $-\frac{1}{27}$, наибольшего значения не существует.

На этом промежутке функция строго убывает. Для любого $x$ из промежутка $(0; 2]$ выполняется $0 < x \le 2$, следовательно $f(x) \ge f(2)$. Значит, наименьшее значение функция принимает в точке $x = 2$.

Наименьшее значение:$f_{наим.} = f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Чтобы найти наибольшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to 0$ справа ($x \to 0^+$):$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = +\infty$. Функция неограниченно возрастает при приближении $x$ к 0, поэтому наибольшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{1}{8}$, наибольшего значения не существует.