Номер 9.15, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.15. Решите уравнение $11x^{15} + 2x^4 = -9.$

Заданное уравнение: $11x^{15} + 2x^4 = -9$.

Для решения рассмотрим свойства функции, стоящей в левой части уравнения. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$11x^{15} + 2x^4 + 9 = 0$

Обозначим левую часть как функцию $f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9$. Нам необходимо найти нули этой функции.

Сначала проанализируем, какие значения может принимать $x$.

1. Если $x \ge 0$, то $x^{15} \ge 0$ и $x^4 \ge 0$. Это означает, что оба слагаемых $11x^{15}$ и $2x^4$ неотрицательны. Тогда их сумма также неотрицательна: $11x^{15} + 2x^4 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 9, результат будет не меньше 9:

$f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9 \ge 0 + 9 = 9$

Поскольку $f(x)$ всегда больше или равно 9 при $x \ge 0$, уравнение $f(x)=0$ не имеет решений в этой области. Следовательно, если у уравнения есть корень, он должен быть отрицательным ($x < 0$).

2. Теперь рассмотрим случай $x < 0$. Попробуем найти корень методом подбора, проверив простые отрицательные целые числа. Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

$11(-1)^{15} + 2(-1)^4 = 11 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = -11 + 2 = -9$

Мы получили верное равенство $-9 = -9$, что означает, что $x = -1$ является корнем уравнения.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, исследуем поведение функции $f(x) = 11x^{15} + 2x^4 + 9$ при $x < 0$ с помощью ее производной:

$f'(x) = (11x^{15} + 2x^4 + 9)' = 165x^{14} + 8x^3$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$165x^{14} + 8x^3 = 0$

$x^3(165x^{11} + 8) = 0$

Поскольку мы рассматриваем $x < 0$, нас интересует только корень уравнения $165x^{11} + 8 = 0$.

$x^{11} = -\frac{8}{165} \implies x = -\sqrt[11]{\frac{8}{165}}$

Обозначим эту критическую точку $x_c = -\sqrt[11]{8/165}$. Так как $0 < 8/165 < 1$, то и $0 < \sqrt[11]{8/165} < 1$, а значит $-1 < x_c < 0$.

Эта точка делит область $x<0$ на два интервала монотонности:

• При $x < x_c$ (например, $x = -2$), $x^{11} < x_c^{11} = -8/165$, поэтому $165x^{11} + 8 < 0$. Также $x^3 < 0$. Производная $f'(x) = x^3(165x^{11} + 8)$ является произведением двух отрицательных чисел, то есть $f'(x) > 0$. На интервале $(-\infty, x_c)$ функция $f(x)$ строго возрастает.
• При $x_c < x < 0$ (например, $x = -0.5$), $x^{11} > x_c^{11} = -8/165$, поэтому $165x^{11} + 8 > 0$. При этом $x^3 < 0$. Производная $f'(x)$ является произведением положительного и отрицательного чисел, то есть $f'(x) < 0$. На интервале $(x_c, 0)$ функция $f(x)$ строго убывает.

Мы нашли, что корень $x = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, x_c)$, поскольку $-1 < x_c$. На этом интервале функция строго возрастает, а значит, она может пересечь ось абсцисс (т.е. принять значение 0) только один раз. Следовательно, $x=-1$ — единственный корень на этом интервале.

На интервале $[x_c, 0)$ функция $f(x)$ убывает от своего локального максимума в точке $x_c$ до значения $f(0) = 9$. Это значит, что для всех $x$ из этого интервала $f(x) \ge 9$, поэтому корней здесь нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $-1$