Номер 9.5, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.5. Постройте график функции:

1) $y = |x|x^4$;

2) $y = |x|x^4 + x^5$.

1) Постройте график функции $y = |x|x^4$.

Для построения графика функции, содержащей модуль, раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, по определению модуля, $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = x \cdot x^4 = x^5$.

Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ (в правой полуплоскости, включая ось $Oy$) график нашей функции совпадает с графиком функции $y = x^5$. Это степенная функция, ее график проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, по определению модуля, $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = (-x) \cdot x^4 = -x^5$.

Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ (в левой полуплоскости) график нашей функции совпадает с графиком функции $y = -x^5$. Этот график симметричен графику $y = x^5$ относительно оси $Ox$. Он проходит через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 32)$.

Построение графика:

Объединим результаты. График функции $y = |x|x^4$ состоит из двух частей:

• ветвь графика $y = x^5$ при $x \ge 0$;
• ветвь графика $y = -x^5$ при $x < 0$.

Можно заметить, что полученная функция является четной, так как $y(-x) = |-x|(-x)^4 = |x|x^4 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). График похож на параболу $y=x^4$, но более "плоский" у начала координат и растет быстрее при $|x| > 1$.

Ответ: График функции $y = |x|x^4$ представляет собой график функции $y = x^5$ для $x \ge 0$ и график функции $y = -x^5$ для $x < 0$. График симметричен относительно оси $Oy$, проходит через начало координат и всегда неотрицателен ($y \ge 0$).

2) Постройте график функции $y = |x|x^4 + x^5$.

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$y = x \cdot x^4 + x^5 = x^5 + x^5 = 2x^5$.

Следовательно, при $x \ge 0$ график искомой функции совпадает с графиком функции $y = 2x^5$. Это график функции $y = x^5$, растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$. Он проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$y = (-x) \cdot x^4 + x^5 = -x^5 + x^5 = 0$.

Следовательно, для всех отрицательных значений $x$ функция принимает значение 0. Графиком на этом участке является луч, совпадающий с отрицательной частью оси абсцисс ($Ox$).

Построение графика:

Объединяем полученные части:

• При $x < 0$ график функции — это луч $y = 0$.
• В точке $x=0$ значение функции $y=2(0)^5=0$.
• При $x > 0$ график функции — это кривая $y = 2x^5$.

Таким образом, график состоит из луча, лежащего на оси $Ox$ для всех $x < 0$, и кривой $y = 2x^5$, выходящей из начала координат в первом квадранте.

Ответ: График функции $y = |x|x^4 + x^5$ представляет собой луч $y=0$ при $x < 0$, который в точке $(0,0)$ переходит в график функции $y = 2x^5$ при $x \ge 0$.